Второй признак подобия треугольников. Доказательство

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между пропорциональными сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Доказательство. Вот наши треугольники — большой ABC и маленький A1B1C1. У них длины боковых сторон составляют пропорцию: АВ/A1B1 = ВС/B1C1. Также углы ∟B и ∟B1 равны — они отмечены двойной дужкой. И нам надо доказать, что маленький и большой треугольники подобны.

Как и при доказательстве первого признака, отложим  на стороне АВ отрезок KB = А1В1 и проведём КР параллельно АС. Отсёкся ▲КВР~▲АВС. Для подобных треугольников составим пропорцию из сходственных сторон: AB/KB = BC/BP. Теперь видим, что три члена одной пропорции равны трём членам другой пропорции, а именно AB, BC и сторона-звёздочка. Стало быть, и четвёртые члены равны, то есть B1C1 = BP. Это значит, что отсечённый треугольник равен меньшему по первому  признаку. Значит, меньший треугольник, как и отсечённый, подобен большому: ▲A1B1C1~▲ABC. ЧТД.