Построение среднего пропорционального

Построение среднего пропорционального. Даны отрезки a и b. И требуется построить их среднее пропорциональное, то есть отрезок c c такой длиной, что a/c=c/b (или, что то же самое c^2=a*b — это равносильные равенства). Для этого построим прямоугольный треугольник, у которого из вершины прямого угла будет проведёна высота, разделяющая гипотенузу на два отрезка. И отрезки гипотенузы должны быть равны a и b. Тогда та высота будет искомым средним пропорциональным.

Чтобы построить такой прямоугольный треугольник, на продолжении отрезка a построим отрезок b. Получилась сумма отрезков, и это как раз будет гипотенуза DE. Точку совмещения концов отрезков называем H. Найдём середину гипотенузы — для этого произвольным расвором циркуля построим первую вспомогательную дугу окружности с центром в точке D и таким же раствором циркуля построим вторую вспомогательную дугу окружности с центром в точке E — так, чтобы первая и вторая дуги пересеклись над и под гипотенузой DE. Точки пересечения дуг соединим отрезком, который пройдёт через середину DE — точку F. И теперь построим третью полуокружность с центром в точке F на гипотенузе DE, как на диаметре. Теперь из точки совмещения отрезков a и b — точки H — восставим перпендикуляр к гипотенузе. Для этого построим четвёртую вспомогательную окружность с центром в точке H — она пересечёт гипотенузу в двух точках K и L. Произвольным раствором циркуля построим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в точке K и таким же раствором циркуля построим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в точке L — так, чтобы пятая и шестая дуги пересеклись в двух точках над и под гипотенузой. Эти две точки соединим — и отрезок будет перпендикулярен гипотенузе. Продолжим этот перпендикуляр до пересечения с третьей полуокружностью и точку пересечения называем M. Соединим M с D и E — получился треугольник, у которого угол DME вписан в третью окружность и опирается на её диаметр — следовательно угол DME прямой, и треугольник DME прямоугольный. Три треугольника DME, DHM и EHM — подобны, и их соответственные стороны пропорциональны, то есть DH/HM=HM/EH или a/HM=HM/b. Значит HM — искомое среднее пропорциональное. Построение закончено.