Построение на отрезке сегмента, вмещающего данный угол

Построение на данном отрезке сегмента, вмещающего данный угол. Даны отрезок AB и угол CDE. Требуется построить сегмент, ограниченный данным отрезком AB и дугой окружности, из точек которой отрезок виден под углом, равным CDE. Вот так: отрезок и сегмент окружности — и из этой точки отрезок виден под  углом, из этой точки — под таким же углом, из этой точки — под таким же углом (углы-то все вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). И такой же градусной меры будет вот этот угол между касательной и хордой-отрезком. И вот для построения искомого сегмента — построим срединный перпендикуляр к данному отрезку. И от данного отрезка в некоторой полуплоскости отложим угол, равный данному — это будет угол между касательной и хордой-отрезком. Срединный перпендикуляр пройдёт через центр окружности, ограничивающей искомый сегмент, и перпендикуляр к касательной тоже пройдёт через центр окружности.

Итак, произвольным раствором циркуля проводим первую вспомогательную дугу окружности с центром в точке A. Тем же раствором циркуля проводим вторую вспомогательную дугу окружности с центром в точке B — так, чтобы наша вторая дуга пересекала первую в двух точках — называем их F и G. Соединим FG прямой — это будет срединный перпендикуляр.

Теперь от луча AB в некоторой полуплоскости (какая нам больше нравится) отложим угол, равный CDE. Для этого произвольным раствором циркуля построим третью вспомогательную дугу окружности с центром в вершине данного угла (точке D) так, чтобы третья дуга пересекала обе стороны угла (точки пересечения называем H и K). Тем же раствором циркуля построим четвёртую вспомогательную дугу окружности с центром в точке A так, чтобы четвёртая дуга пересекала луч AB в некоторой точке — называем точку L. Теперь замерим циркулем расстояние HK и тем же раствором циркуля построим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в точке L — так, чтобы пятая дуга пересекала четвёртую в некоторой точке — называем точку M. Теперь строим прямую AM — это будет касательная к искомому сегменту.

К прямой AM восставим перпендикуляр в точке A в той же полуплоскости, в которой лежит луч AB. Произвольным раствором циркуля строим шестую вспомогательную окружность с центром в точке A. Она пересекает AM в двух точках — называем их N и P. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную дугу окружности с центром в точке N. И тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную дугу окружности с центром в точке P так, чтобы восьмая дуга пересекла седьмую — точку пересечения называем R. Строим луч AR, перпендикулярный AM. Этот луч AR пересекает срединный перпендикуляр FG — точку пересечения называем S.

Теперь циркулем замеряем расстояние AS и проводим большую девятую дугу AB — эта большая дуга и будет искомым сегментом. И вот почему: радиус AS перпендикулярен прямой AM. Следовательно AM — касательная, а угол MAB — это угол между касательной и хордой. Этот угол по построению равен углу CDE. Значит любой угол, вписанный в ту же девятую большую дугу и опирающийся на хорду AB, тоже равен углу CDE. Построение закончено.