Значения тригонометрических функций разных углов

Рассмотрим значения тригонометрических функций углов от 0° до 360°. Углы изобразим на единичной окружности с радиусом единица. Одна сторона угла всегда будет совпадать с положительным направлением оси абсцисс, а другая будет перемещаться при росте угла против часовой стрелки.

Синус

Синус угла — это высота, на которой оказалась точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью.

Для изображённого угла высота этой точки — 0,6. Значит синус этого угла равен 0,6.

При изменении угла от 0° до 360° синус изменяется. Когда угол равен нулю, его стороны схлопываются, как книжка, и совпадают с положительным направлением оси абсцисс, и вторая сторона пересекает единичную окружность на высоте 0, т.е. синус 0° равен 0. С увеличением угла синус возрастает, и синус 90° равен 1. Затем синус начинает уменьшаться, и синус 180° уже снова равен 0. Потом синус продолжает уменьшаться, и синус 270° уже равен –1. А после этого с дальнейшим увеличением угла синус обратно возрастает до нуля, и синус 360° уже равен 0.

Косинус

Косинус угла — это абсцисса точки пересечения второй стороны с единичной окружностью.

Косинус изображённого угла равен 0,7.

При изменении угла от 0° до 360° значение косинуса изменяется. Если угол равен нулю, то обе его стороны совпадают с положительным направлением оси абсцисс и пересекает единичную окружность в самой правой точке, у которой абсцисса равна единице. Т.е. косинус 0° равен 1. При росте угла косинус уменьшается, и косинус 90° уже равен 0. Потом косинус уменьшается ещё дальше при увеличении угла, и косинус 180° равен –1. Затем косинус снова увеличивается, и косинус 270° уже равен 0. Косинус продолжает увеличиваться, и косинус 360° уже снова равен 1.

Тангенс

Тангенс — это синус делённый на косинус. Чтобы найти значение тангенса, нужно построить дополнительную прямую, которая называется ось тангенсов. И масштаб на этой прямой выбирается такой же, как и на оси синусов и косинусов, т.е. отрезок, равный радиусу окружности, принимается за 1. Так вот тангенс угла — это высота, на которой продолжение 2й стороны угла пересекает ось тангенсов.

Для изображённого угла тангенс равен примерно 1,4.

В отличие от синуса и косинуса тангенс не ограничен плюс и минус единицей, и может принимать любые значения от минус до плюс бесконечности. Посмотрим, как изменяется тангенс при изменении угла от 0° до 360°. Если угол равен нулю, то вторая сторона его так же, как и первая, пересекает ось тангенсов на высоте 0, и тангенс 0° равен 0. При увеличении угла тангенс всегда возрастает. И в первой четверти до 90° он возрастает от 0 до +∞. И наконец, тангенс 90° не определён, потому что продолжение стороны не пересекает ось тангенсов. А когда угол увеличивается снова, то сторону нужно продолжать в другом направлении. Тангенс продолжает возрастать уже от –∞ до 0, и наконец тангенс 180° равен 0. Снова возрастает угол и снова возрастает тангенс уже от 0 до +∞ и тангенс 270° опять не определён. И при увеличении угла тангенс снова возрастает от –∞ до 0, и тангенс 360° равен нулю.

Котангенс

Котангенс — это косинус деленный на синус. Чтобы определить значение котангенса, нужно построить дополнительную прямую. Она называется ось котангенсов. И масштаб на этой прямой выбирается так же, как и на оси синусов и косинусов — отрезок, равный радиусу окружности, принимается за 1. Так вот котангенс угла это абсцисса, на которой продолжение 2й стороны пересекает ось котангенсов. И для изображённого угла котангенс равен примерно 1,3.

Посмотрим как меняется котангенс при изменении угла от 0° до 360°. И сразу возникает особенность — когда угол равен нулю, обе его стороны совпадают с положительным направлением оси абсцисс, и вторая сторона не пересекает ось котангенсов, и котангенс 0° не определён. При возрастании угла котангенс всё время убывает, и в первой четверти котангенс убывает от +∞ до 0. И котангенс 90° равен 0. При возрастании угла котангенс продолжает убывать уже от 0 до –∞, и котангенс 180° снова не определён. Опять возрастает угол и опять убывает котангенс уже от +∞ до 0. И котангенс 270° равен 0. И снова возрастает угол и снова убывает котангенс уже от 0 до –∞ и котангенс 360° градусов снова не определён.

Онлайн-консультации

Индивидуальные Skype-консультации по математике от автора сайта, методиста и преподавателя Сергея Мартынова.