Значение тригонометрических функций углов 30°, 45° и 60°

Найдем значение Sin, Cos, Tg, Ctg трёх примечательных углов 30°, 45° и 60°.

30° и 60°

Начнём с синуса 30°. Для этого построим прямоугольный треугольник с острым углом в 30°. И синус 30° – это будет отношение противолежащего короткого катета к гипотенузе. И для удобства установим длину гипотенузы единица.

И тогда получается что отношение длины катета к гипотенузе равно просто длине катета, и синус 30° будет равен просто а. Кроме того, сумма углов любого треугольника равна 180°, и 2й острый угол равен 180° – 90° – 30° = 60°. И для 2го острого угла отношение короткого катета к гипотенузе – это будет отношение прилежащего катета к гипотенузе то есть косинус. И значит, Cos(60°) тоже будет равен а. А теперь найдем, чему же равно это а. Для этого построим снизу ещё один такой же треугольник, равный исходному - только отраженный зеркально.

И вот что получается: во-первых приглядимся к углу, сложившемуся из двух прямых углов – он развернутый. Получается, что верхняя и нижняя точки треугольника и вершина прямых углов лежат на одном отрезке. А левый угол складывается из двух углов по 30°, то есть равен он 60°. Следовательно, можно стереть горизонтальный отрезок, и получается треугольник, у которого каждый угол равен 60°.

Равносторонний треугольник, у которого третья сторона равна первым двум сторонам и тоже равна единице. Получилось, что:

а + a = 1

А это означает, что

a = 1/2

И таким образом

Sin(30°) = Cos(60°) = 1/2

Теперь вернемся к исходному треугольнику. Короткий катет теперь известен – это 1/2. А чему же равен длинный катет? Обозначим его буквой b.

Для угла в 30° этот катет b – прилежащий, гипотенуза равна 1. И значит длина этого катета равна отношению длины прилежащего катета к гипотенузе, то есть Cos(30°). А для 60° этот длинный катет – противолежащий. И следовательно длина этого катета равна отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть Sin(60°). И значит

Cos(30°) = Sin(60°) = b

Ну а теперь найдем катет b с помощью теоремы Пифагора. Как известно, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть

(½)² + b² = 1² ¼ + b² = 1 b² = ¾ b = (√3)/2

Таким образом

Cos(30°) = Sin(60°) = (√3)/2

Теперь уже известны оба катета, и можно найти отношение двух катетов. Сначала найдём отношение короткого катета к длинному катету. Для угла в 30° это будет отношение противолежащего катета к прилежащему катету, то есть Tg(30°). А для угла в 60° это будет наоборот – отношение прилежащего катета к противолежащему катету то есть Ctg(60°).

Tg(30°) = Ctg(60°) = (1/2) : ((√3)/2) = = 1 : (√3)

А теперь наоборот длинный катет разделим на короткий катет. Для 30° это будет прилежащий катет разделить на противолежащий, то есть Ctg(30°). А для 60° это будет противолежащий катет разделить на прилежащий, то есть Tg(60°).

Ctg(30°) = Tg(60°) = ((√3)/2) : (1/2) = = (√3) : 1 = √3

45°

Построим прямоугольный треугольник с острым углом 45 градусов. Гипотенузу опять сделаем единицу и противолежащий катет обозначим буквой e.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе и будет равно Sin(45°). Но гипотенуза – единица – поэтому просто длина этого катета равна синусу Sin(45°). Теперь обратим внимание на 2й острый угол. На два острых угла в прямоугольном треугольнике приходится 90°. Значит 2й острый угол равен 90° – 45° = 45°. Выходит что этот прямоугольный треугольник – равнобедренный, и второй катет тоже равен е. И получается что для угла 45° отношение прилежащего катета к гипотенузе такое же, как и противолежащего катета к гипотенузе

Cos(45°) = Sin(45°) = е

Кроме того, даже не зная, чему равно е, можно сказать, какой будет Tg(45°) и Ctg(45°), потому что отношение противолежащего катета к прилежащему или, наоборот, прилежащего катета к противолежащему – будет равно единице.

Tg(45°) = Ctg(45°) = e / e = 1

Ну а теперь можно уже наконец найти, чему равно е. И для этого воспользуемся теоремой Пифагора.

е² + e² = 1² 2 × е² = 1 е² = ½ e = 1/(√2) = (√2)/2

Получается, что:

Cos(45°) = Sin(45°) = (√2)/2

И таким образом найдены значения основных тригонометрических функций углов 30° 45° и 60°.

Следующий урок

Читать