Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin(α) = a/c

Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos(α) = b/c

Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

tg(α) = a/b

Оба катета короче гипотенузы, поэтому синус и косинус всегда меньше единицы.

Увеличим или уменьшим треугольник пропорционально, не меняя острый угол. Согласно основному свойству дроби, значения тригонометрических функций угла также останутся неизменными:


sin(α) = a/c = (a:2)/(c:2)
cos(α) = b/c = (b:2)/(c:2)
tg(α) = a/b = (a:2)/(b:2)

Значения тригонометрических функций зависят не от размеров треугольника, а только от градусной меры острого угла. Этот факт позволяет нам расширить понятие тригонометрических функций не только на острые, но и на любые другие произвольные углы — тупые, развернутые.

Увеличим или уменьшим прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза стала равна единице. Тогда синус и косинус будут равны соответствующим катетам:


sin(α) = a/1 = a
cos(α) = b/1 = b

А тангенс, который является отношением катетов, превратится в отношение синуса к косинусу:

tg(α) = a/b = sin(α)/cos(α)

Поместим прямоугольный треугольник в систему координат с центром в вершине угла α и осью x, совпадающей с катетом треугольника. Тогда, синус и косинус будут равны, соответственно, ординате и абсциссе некоторой точки, удаленной от начала координат на расстояние единицы.

Дополним систему координат окружностью с радиусом единица и получим диаграмму, составляющую основу тригонометрической линейки.

Тригонометрическая линейка состоит из трех шкал:

  • Круглая — шкала углов в радианах.
  • Вертикальная — шкала синусов, размечена от минус единицы до плюс единицы.
  • Горизонтальная — шкала косинусов, размечена от минус единицы до плюс единицы.

С помощью тригонометрической линейки определяют синусы и косинусы углов. Совместим один из лучей угла с положительным направлением оси косинусов так, чтобы он показывал на ноль на шкале углов. Второй луч пересечет окружность в некоторой точке и покажет радианную меру угла.

Для угла с радианной мерой в полрадиана длина дуги равна половине длины радиуса. Координаты точки, в которой второй луч пересечет окружность, соответствуют значениям синуса и косинуса. Ордината точки равна синусу, а абсцисса — косинусу.