Формулы приведения

Формулы приведения предполагают, что уже известны Sin(α) и Cos(α). И через эти две величины – Sin(α) и Cos(α) нужно выразить синусы и косинусы углов (90° + α), (90° – α), (180° + α), (180° – α), (270° + α), (270° – α). Помните: формулы приведения запомнить очень трудно, и лучше уметь их выводить, и вот как это делается.

Выберем угол α в первой координатной четверти с таким расчетом чтобы синус и косинус отличались. Косинус длинный большой, а синус маленький короткий.

И вот этот треугольник повернём вокруг начала координат на 90° – и гипотенуза укажет на угол 90° + α. У этой точки (90° + α) абсцисса и ордината равны косинусу и синусу угла 90° + α. А в то же время эти абсцисса и ордината равны прежним катетам прежнего треугольника (катеты только поменялись местами и направление изменили). И вот так получается, что:

Абсцисса (90° + α) = Cos(90° + α) = –Sin(α)
Ордината (90° + α) = Sin(90° + α) = +Cos(α)

Ещё раз повернём изначальный треугольник, и гипотенуза укажет на угол 180° + α. У точки (180° + α) абсцисса и ордината равны косинусу и синусу угла 180° + α. А в то же время эти абсцисса и ордината равны прежним катетам прежнего треугольника (теперь оба катета поменяли направление). И вот так получается, что

Абсцисса (180° + α) = Cos(180° + α) = –Cos(α)
Ордината (180° + α) = Sin(180° + α) = -Sin(α)

Ещё раз повернём изначальный треугольник, и гипотенуза укажет на угол 270° + α. У точки (270° + α) абсцисса и ордината равны косинусу и синусу угла 270° + α. А в то же время эти абсцисса и ордината равны прежним катетам прежнего треугольника (теперь катеты опять поменялись местами и изменили направления). И вот так получается, что

Абсцисса (270° + α) = Cos(270° + α) = +Sin(α)
Ордината (270° + α) = Sin(270° + α) = -Cos(α)

Теперь изначальный треугольник отразим сверху-вниз: гипотенуза укажет на угол –α. У точки (–α) абсцисса и ордината равны косинусу и синусу угла –α. А в то же время эти абсцисса и ордината равны прежним катетам прежнего треугольника (только синус изменил направление). И вот так получается, что

Абсцисса (–α) = Cos(–α) = +Cos(α)
Ордината (–α) = Sin(–α) = –Sin(α)

Теперь отражённый треугольник повернём на угол 90°: гипотенуза укажет на угол 90° – α. У точки (90° – α) абсцисса и ордината равны косинусу и синусу угла (90° – α). А в то же время эти абсцисса и ордината равны прежним катетам прежнего треугольника (теперь синус с косинусом поменялись). И вот так получается, что

Абсцисса (90° – α) = Cos(90° – α) = +Sin(α)
Ордината (90° – α) = Sin(90° – α) = +Cos(α)

Теперь отражённый треугольник ещё повернём на угол 90°: гипотенуза укажет на угол 180° – α. У точки (180° – α) абсцисса и ордината равны косинусу и синусу угла (180° – α). А в то же время эти абсцисса и ордината равны прежним катетам прежнего треугольника (только косинус поменял направление). И вот так получается, что

Абсцисса (180° – α) = Cos(180° – α) = –Cos(α)
Ордината (180° – α) = Sin(180° – α) = +Sin(α)

Теперь отражённый треугольник ещё повернём на угол 90°: гипотенуза укажет на угол 270° – α. У точки (270° – α) абсцисса и ордината равны косинусу и синусу угла (270° – α). А в то же время эти абсцисса и ордината равны прежним катетам прежнего треугольника (теперь косинус с синусом поменялись и к тому же поменяли направление). И вот так получается, что

Абсцисса (270° – α) = Cos(270° – α) = –Sin(α)
Ордината (270° – α) = Sin(270° – α) = –Cos(α)

Формул приведения можно придумать ещё очень много. Поэтому я рекомендую их не запоминать а уметь выводить.

Следующий урок

Читать