Простые и составные числа, НОД и НОК

Тема простых чисел, общих делителей и кратных даёт простор для озадачивания юных математиков посильным и остроумным счётом. А матёрым математическим мастодонтам — простор для исследований, которые далеки от завершения.

Натуральный ряд

Натуральные числа означают количество целых предметов: 1, 2, 3, 4, 5 ... Натуральный ряд бесконечен. Сумма двух натуральных чисел — это натуральное число. Произведение двух натуральных чисел — это натуральное число.

Простые числа

Простые числа — это числа, которые делятся только на себя и на единицу.

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Составные числа

Составные числа — делятся на другие числа ( другими словами — представляются в виде произведения своих делителей).

24 = 2 × 2 × 2 × 3
25 = 5 × 5
26 = 2 × 13
27 = 3 × 3 × 3
28 = 2 × 2 × 7

Теорема о множестве простых чисел

Простых чисел бесконечного много. Доказательство — от противного. Пусть простых чисел конечное число — N. Тогда все их перемножим и к произведению прибавим 1. Получится натуральное число AN+1:

1 + p1 × p2 × ... × pN = AN+1

Попробуем это число поделить на каждое из N простых чисел — и каждый раз в остатке будет получаться 1, то есть AN+1 не делится ни на какое из N простых чисел. Значит, AN+1 — это либо другое простое число,

AN+1 = pN+1

либо оно раскладывается в произведение других простых чисел.

AN+1 = pN+2 × pN+3

Выходит, что простых чисел не N, а больше, что противоречит предположению (о том, что их конечное число). Значит, предположение неверно, и простых чисел бесконечно много.

Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел

Наибольший общий делитель (НОД) нескольких данных чисел — это наибольшее число, на которое делятся все данные числа.

НОД(3;7) = 1
НОД(12;8) = 4

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких данных чисел — это наименьшее число, которое делится на все данные числа.

НОК(3;7) = 21
НОК(12;8) = 24

Взаимно простые числа

Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель = 1.

Как найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел?

Чтобы найти НОД нескольких данных чисел, нужно представить эти числа в виде произведения простых множителей, и общие множители перемножить.

НОД(96;150) = 6
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2
3 и 2 — это общие множители
3 × 2 — это наибольший общий множитель.

НОД(72;60) = 12
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
60 = 5 × 3 × 2 × 2
3 и 2 и 2 — это общие множители
3 × 2 × 2 — это наибольший общий множитель.

Как найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел?

Чтобы найти НОК нескольких данных чисел, нужно представить эти числа в виде произведения простых множителей, и множители одного числа домножить на недостающие множители из других чисел.

НОК(96;150)=2400
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2

150 = 5 × 5 × 3 × 2 — не делится на 96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, поэтому к 150 припишем недостающие четыре двойки — получится 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2400

96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 — не делится на 150 = 5 × 5 × 3 × 2, поэтому к 96 припишем недостающие две пятёрки — получится 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2400

НОК(72;60) = 360
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
60 = 5 × 3 × 2 × 2

72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2 не делится на 60, поэтому к 72 припишем недостающую 5 — получится 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 5 = 360

60 = 5 × 3 × 2 × 2 не делится на 72, поэтому к 60 припишем недостающие 3 × 2 — получится 5 × 3 × 2 × 2 × 3 × 2 = 360

Что значит разложить число на простые множители?

Составное число можно по-разному разложить на множители

12 = 3 × 4 или 12 = 6 × 2,

потому что 4 делится и 6 делится. Но существует только одно разложение на простые множители

12 = 2 × 2 × 3,

потому что 2 и 3 уже дальше не делятся.