Дроби

Сухая статистика показывает, что те, кто к восьмому классу не любит дроби, чаще всего не понимают двух вещей: что такое дробь и как сложить дроби с разными знаменателями. Рекомендуем по мере необходимости освежать в памяти эти несложные понятия и операции, чтобы сохранить хорошие отношения с математикой.

Отношение. Члены отношения. Дробь

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение можно записать с помощью знака деления или в виде дроби.

Пример. 7:5 — читается "отношение семи к пяти" или "семь относится к пяти". Другая запись того же отношения — в виде дроби 7/5 — читается "семь пятых". Знак деления изображён в виде горизонтальной или косой черты — дробной черты. Число стоящее над дробной чертой, называется числитель, а число, стоящее под дробной чертой — называется знаменатель.

Дробь — это число. То есть можно отмерить 7/5 километра, 7/5 килограмма, 7/5 часа. 5 в знаменателе означает, что единица измерения разделена на пять частей. А 7 в числителе означает, что измеряемая величина содержит семь таких частей.

Рациональные числа

Рациональное число — это число, которое представляется в виде дроби. Примеры: 2/3; 5/7; -5/7; 654/113; Любое целое число — также является рациональным, например 8 = 8/1

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число — то значение дроби не меняется. 4/5 = 16/20 = 20/25

Как привести дробь к новому знаменателю?

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно её числитель и знаменатель домножить (и если надо — поделить) на одно и то же число. Число нужно выбрать подходящее, чтобы получился нужный знаменатель — то есть знаменатель мы знаем заранее, а числитель получается для нас сюрприз. Вот дробь 10/14 приводим к знаменателю 21. Для этого знаменатель дроби 14 делим на 2 и умножаем на 3. А числитель тоже делим на 2 и умножаем на 3. Получается новая дробь 15/21. Знаменатель, как я и хотел — 21, а числитель получился 15.

Что значит сократить дробь?

Дробь называется сократимой, если у её числителя и знаменателя есть общий делитель. Сократить дробь — значит поделить её числитель и знаменатель на одно и то же число и привести дробь к несократимому виду.

Пример: 15/21

У 15 и 21 есть общий делитель 3.

15/21 = (5 × 3) / (7 × 3)

Поделим числитель и знаменатель на 3, получится 5/7.

15/21 = (5 × 3)/(7 × 3) = 5/7

У 5 и 7 нет общих делителей, эта дробь несократима, значит дробь 15/21 мы сократили до конца.

Как сложить дроби с одинаковыми или разными знаменателями?

Сумма дробей с одинаковыми знаменателями — это дробь с таким же знаменателем, в числителе которой стоит сумма числителей.

3/7 + 2/7 = 5/7

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к общему знаменателю, и сложить полученные дроби с одинаковым знаменателем.

3/7 + 2/3 = 9/21 + 14/21 = 23/21

Как умножить дробь на дробь? Доказательство

Произведение дробей — это дробь, у которой в числителе произведение числителей, а в знаменателе — произведение знаменателей. Докажем это. Перемножим, например, дроби 2/3 и 5/7. Их произведение, как любое произведение двух множителей  - это площадь прямоугольника со сторонами равными множителям. То есть 2/3 × 5/7 — это площадь прямоугольника со сторонами 2/3 и 5/7 некоторой единицы. За единицу возьмём дециметр, и построим прямоугольник 2/3 дециметра на 5/7 дециметра. Для этого построим квадрат 1 дм × 1 дм. Разделим его на 7 частей вдоль и на 3 части поперёк — получилась 21 одинаковая часть.

Теперь мы можем вписать в наш единичный квадрат 1 дм × 1 дм — нужный нам прямоугольник 2/3 × 5/7 и измерить его площадь.

Весь единичный квадрат поделен на 21 одинаковую часть, а измеряемый прямоугольник содержит 10 таких частей. Значит, измеряемая площадь равна 10/21 от единицы. А 10/21 — это как раз дробь, у которой в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей наших сомножителей. Что и требовалось доказать.

Взаимно обратные числа

Произведение обратных чисел равно единице. Любая дробь и перевёрнутая дробь — взаимно обратные числа. 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1

Как разделить на дробь? Доказательство

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную — перевёрнутую дробь. Потому что если разделим на дробь и умножим на такую же дробь — то ничего не изменится. И если умножим на обратную дробь и потом на исходную дробь — тоже ничего не изменится.

Если мы 5 разделим на 7/9 и умножим на 7/9 — то должно получиться 5.

( 5 : 7/9 ) × 7/9 = 5

А из свойства обратных дробей следует, что если 5 умножить на 9/7 и умножить на 7/9 — то снова-таки получится 5:

9/7 × 7/9 = 1 и ( 5 × 9/7 ) × 7/9 = 5 × 1 = 5.

Следовательно здесь и здесь в скобках стоит одно и то же число, и

( 5 : 7/9 ) = ( 5 × 9/7 ).