Простые и составные числа, НОД и НОК
Тема простых чисел, общих делителей и кратных даёт простор для озадачивания юных математиков посильным и остроумным счётом. А матёрым математическим мастодонтам — простор для исследований, которые далеки от завершения.
Натуральный ряд
Натуральные числа означают количество целых предметов: 1, 2, 3, 4, 5 ... Натуральный ряд бесконечен. Сумма двух натуральных чисел — это натуральное число. Произведение двух натуральных чисел — это натуральное число.
Простые числа
Простые числа — это числа, которые делятся только на себя и на единицу.
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Простых чисел бесконечно много (это утверждение доказано в отдельном уроке).
Составные числа
Составные числа — делятся на другие числа ( другими словами — представляются в виде произведения своих делителей).
24 = 2 × 2 × 2 × 3
25 = 5 × 5
26 = 2 × 13
27 = 3 × 3 × 3
28 = 2 × 2 × 7
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких данных чисел — это наибольшее число, на которое делятся все данные числа.
НОД(3;7) = 1
НОД(12;8) = 4
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких данных чисел — это наименьшее число, которое делится на все данные числа.
НОК(3;7) = 21
НОК(12;8) = 24
Взаимно простые числа
Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель = 1.
Что значит разложить число на простые множители?
Составное число можно по-разному разложить на множители
12 = 3 × 4 или 12 = 6 × 2,
потому что 4 делится и 6 делится. Но существует только одно разложение на простые множители
12 = 2 × 2 × 3,
потому что 2 и 3 уже дальше не делятся.
Как найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел?
Чтобы найти НОД нескольких данных чисел, нужно представить эти числа в виде произведения простых множителей, и общие множители перемножить.
НОД(96;150) = 6
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2
3 и 2 — это общие множители
3 × 2 — это наибольший общий множитель.
НОД(72;60) = 12
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
60 = 5 × 3 × 2 × 2
3 и 2 и 2 — это общие множители
3 × 2 × 2 — это наибольший общий множитель.
Как найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел?
Чтобы найти НОК нескольких данных чисел, нужно представить эти числа в виде произведения простых множителей, и множители одного числа домножить на недостающие множители из других чисел.
НОК(96;150)=2400
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2 — не делится на 96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, поэтому к 150 припишем недостающие четыре двойки — получится 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2400
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 — не делится на 150 = 5 × 5 × 3 × 2, поэтому к 96 припишем недостающие две пятёрки — получится 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2400
НОК(72;60) = 360
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
60 = 5 × 3 × 2 × 2
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2 не делится на 60, поэтому к 72 припишем недостающую 5 — получится 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 5 = 360
60 = 5 × 3 × 2 × 2 не делится на 72, поэтому к 60 припишем недостающие 3 × 2 — получится 5 × 3 × 2 × 2 × 3 × 2 = 360