Превращение обыкновенных дробей в десятичные

Не только целые числа, но и дроби можно записывать с помощью позиционной десятичной системы счисления, только стоящие в разных разрядах цифры умножаются не на 1, 10, 100, 1000 и т. д., а на 1/10, 1/100, 1/1000 и т. д. Десятичные дроби, в отличие от обыкновенных, легче складывать и вычитать.

Десятичная дробь

Десятичная дробь — это записанная особым образом дробь со знаменаталем 10 или 100 или 1000, 10000 и т. д. Например, обыкновенную дробь 73/100 можно записать в виде десятичной 0,73 Другой пример 73/1000 = 0,073

Периодические дроби

Десятичная дробь называется периодической, если последовательность её цифр начиная с некоторого места периодически повторяется. Эта повторяющаяся часть называется период. При записи период берут в скобки. Например:

0,11111111111... = 0,(1)

0,7272727272... = 0,(72)

7,619539539539... = 7,61(953)

Чистая периодическая дробь

У чистой периодической дроби период начинается сразу после запятой:

0,112112112... = 0,(112)

53,112112112... = 53,(112)

Смешанная периодическая дробь

У смешанной периодической дроби между десятичной запятой и периодом есть цифры:

0,3112112112112... = 0,3(112)

5,1753753753753... = 5,1(753)

Обращение обыкновенных дробей в десятичные

Обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную дробь, если в знаменателе стоит произведение пятёрок и двоек.

1/5 × 5 × 5 = 1/125 = 0,008

7/2 × 2 × 5 = 7/20 = 0,35

Если в знаменателе дроби стоит не произведение двоек и пятёрок, то десятичное представление дроби — это периодическая дробь. Например

1/7 = 0,1428571428571... = 0,(142857)

Как обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную?

Чистая периодическая десятичная дробь равна обыкновенной, у которой в числителе стоит период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде. Например:

0,373737... = 37/99

Это правило доказано в отдельном уроке.

Как обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную?

Смешанную периодическую дробь можно представить в виде суммы конечной десятичной дроби и чистой периодической, делённой на степень десяти. Например:

7,35123123123123... = 7,35(123) = 7,35 + 0,(123)/100.

Чтобы преобразовать эту сумму в обыкновенную дробь — надо представить конечную десятичную дробь в виде обыкновенной, периодическую часть в виде обыкновенной дроби, делённой на степень десяти, и сложить две полученные дроби.

735/100 + 123/99900 = 734265/99900 + 123/99900 = 734388/99900 .