Вычисление периодической дроби

Кто баловался с калькулятором, может помнить повторяющиеся последовательности одинаковых цифр, которые получаются иногда при делении. А как так выходит, что цифры после запятой начинают повторяться? Любую ли последовательность повторяющихся цифр можно так получить? И как это сделать?

Как обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную?

Чистая периодическая десятичная дробь равна обыкновенной, у которой в числителе стоит период, а в знаменателе столько девяток, сколько цифр в периоде. Например:

0,223223223... = 0,(223) = 223/999

Доказательство.

Если принять 0,223223223... = x, то
1000 × x = 223,223223223...

теперь вычтем из обеих частей равенства 223, чтобы снова получилось 0,223223223..., то есть x

1000 × x – 223 = 223,223223223... – 223 = 0,223223223... = x

а 1000x – 999x – это ведь тоже равно x
1000 × x – 999 × x = (1000 – 999) × x = 1 × x = x,

Выпишем снова рядом:
1000x – 223 = x
1000x – 999x = x

и получается, что

999 × x = 223, то есть

x = 223/999,

что и требовалось доказать.