Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника. Доказательства

Онлайн-тест по уроку

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника на 360 градусов меньше, чем число вершин, умноженное на 180 градусов. Первое доказательство. Вот наш n-угольник. В данном случае n=6. Чтобы доказать теорему, поставим внутри n-угольника точку и соединим её со всеми вершинами. Получится n треугольников. Сумма углов всех треугольников равна n*180 градусов. (в данном случае 6*180 градусов) И внутренние углы n-угольника теперь стали сложены из углов этих шести треугольников. Но некоторые углы треугольников не входят в состав углов многоугольника — это углы с вершиной в центре. Сумма этих углов равна полному обороту — 360 градусов. И если вычесть эти 360 градусов из суммы углов всех треугольников, то как раз и получится сумма внутренних углов n-угольника. ЧТД.

Второе доказательство. Вот наш n-угольник. В данном случае n равно 6. Соединим одну из вершин с остальными вершинами. Треугольников получится на 2 меньше, чем число вершин. И внутренние углы n-угольника теперь стали сложены из углов треугольников. Сумма углов n-угольника равна сумме углов треугольников, т.е. 180 градусов умноженные на число вершин без двойки. ЧТД.