Прямоугольник и его свойства — доказательство

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Поэтому он обладает всеми пятью свойствами параллелограмма, а сверх того, у него ещё два свойства. Первые пять свойств прямоугольника как параллелограмма: а) диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника, б) противоположные стороны прямоугольника равны, в) противоположные углы прямоугольника равны, г) сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Шестое свойство: диагонали прямоугольника равны. Чтобы это доказать, рассмотрим два прямоугольных треугольника ADC и BCD. У них общий катет-основание DC и два других катета — равные боковые стороны AD и BC. Значит, эти прямоугольные треугольники равны, а значит, равны и их гипотенузы AC и BD, которые и есть диагонали. ЧТД.

Седьмое свойство: У прямоугольника две оси симметрии. Доказательство: рассмотрим прямую, соединяющую середины сторон AB и CD. Точки A и B лежат на одном и том же перпендикуляре и одинаково удалены от прямой, то есть симметричны друг другу относительно прямой. Точки C и D — тоже лежат на одном и том же перпендикуляре и одинаково удалены от прямой, то есть симметричны друг другу относительно вертикальной прямой. Выходит, что рассматриваемая прямая — ось симметрии всего прямоугольника. Теперь рассмотрим прямую, соединяющую середины сторон AD и BC. Точки A и D лежат на одном и том же перпендикуляре и одинаково удалены от прямой, то есть симметричны друг другу относительно прямой. Также точки B и C лежат на одном и том же перпендикуляре и одинаково удалены от прямой, то есть симметричны друг другу относительно прямой. То есть, прямая, соединяющая середины сторон AD и BC — вторая ось симметрии всего прямоугольника. ЧТД.