Признаки параллелограмма. Формулировка и доказательства

Признаки параллелограмма. а) Если в выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм. б) Если в выпуклом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм. в) Если диагонали выпуклого четырёхугольника, пересекаясь, делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство первого признака параллелограмма. Если в выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство. Вот наш четырёхугольник, и известно, что стороны AB и CD равны и параллельны. И надо доказать, что ABCD — параллелограмм. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. В них AC — общая сторона, стороны AB и CD равны, и углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ и СЕКУЩЕЙ. Значит, треугольники равны по первому признаку. Значит, их соответственные углы BCA и DAC равны, а эти углы накрест лежащие при параллельных боковых сторонах и  секущей диагонали. То есть боковые стороны тоже параллельны, то есть четырёхугольник — параллелограмм. ЧТД.

Доказательство второго признака параллелограмма. Если в выпуклом четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство. Вот наш четырёхугольник ABCD. И про него известно, что AB=CD и BC=AD. И надо доказать, что этот четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
Рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них AC — общая сторона, AB=CD и BC=AD значит, треугольники равны по третьему признаку, а значит углы DCA и BAC равны, а они накрест лежащие при верхней и нижней сторонах и секущей диагонали, а значит верхняя и нижняя стороны параллельны. Также углы DAC и BCA равны, а они накрест лежащие при боковых сторонах и секущей диагонали. Значит, и боковые стороны четырёхугольника тоже параллельны, значит четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказательство третьего признака параллелограмма. Если диагонали выпуклого четырёхугольника точкой своего пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство. Вот наш четырёхугольник ABCD и про него известно, что его диагонали BD и AC точкой своего пересечения E делятся на равные половинки, то есть AE=CE и BE=DE. И надо доказать, что этот четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Чтобы доказать, мы рассмотрим треугольники ADE и CBE. В этих треугольниках углы BEC и DEA равны как вертикальные. Стороны BE и DE равны по условию, и стороны AE и CE — тоже равны по условию. Значит, треугольники равны по 1-му признаку. Это значит, что их соответственные углы BCE и DAE равны, а эти углы являются накрест лежащими при двух боковых сторонах и секущей AC, следовательно, боковые стороны четырёхугольника — AD и BC — параллельны. Теперь рассмотрим треугольники EAB и ECD. В этих треугольниках углы BEA и DEC равны, как вертикальные. Стороны BE и DE равны по условию и стороны AE и CE — равны по условию. Следовательно и эти треугольники тоже равны по первому признаку. Это значит, что их соответственные углы BAE и DCE равны, а эти углы являются накрест лежащими при верхней и нижней сторонах AB и CD и секущей диагонали AC. Значит, стороны AB и CD тоже параллельны, то есть четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Поддержите нас!

Мы сделали Блицтест бесплатным и свободным от рекламы, потому что верим в доступное и качественное образование для детей. Чтобы сделать вклад в развитие детского образования ощутимее нам нужна ваша помощь. Если вы разделяете наши убеждения и хотите помочь, пожалуйста, расскажите о нас друзьям или сделайте добровольное пожертвование на развитие проекта. Спасибо!