Теорема об измерении угла с вершиной внутри круга. Доказательство

Угол. с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами и дополнительными к ним лучами. Доказательство. Вот наша окружность, вот угол с вершиной внутри окружности — он отмечен дужкой, вот стороны угла, вот дополнительные к ним полупрямые. Вот дуга, заключённая между сторонами угла — она отмечена зубчиками. Вот дуга, заключённая между дополнительными полупрямыми — она отмечена двойной дужкой. И нам надо доказать, что угол с дужкой равен полусумме дуг с зубчиками и с двойной дужкой. Докажем — рассмотрим треугольник ACE. Его угол CAE, отмеченный двойной дужкой, опирается на дугу с двойной дужкой, и равен её половине. А его угол ACE, отмеченный зубчиками — опирается на дугу с зубчиками, и равен её половине. А исходный угол AED (с дужкой) — это внешний угол треугольника ACE, и значит угол AED равен сумме двух несмежных с ним углов, то есть полусумме дуг с зубчиками и с двойной дужкой. ЧТД.