Теорема о свойстве касательной

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Доказательство. Вот наша окружность, вот касательная, вот радиус, проведённый в точку касания. Нам надо доказать, что угол, образованный радиусом и касательной — прямой. Докажем. Касательная — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку — вот эта точка (точка касания). Значит все остальные точки этой прямой лежат вне окружности. Значит эти все остальные точки прямой — находятся дальше от центра, чем точка касания. Значит, отрезок, соединяющий точку касания и центр — это кратчайшее расстояние от центра до прямой. А кратчайшее растояние от точки до прямой — это перпендикуляр, опущенный из этой точки на прямую. Значит радиус — перпендикуляр. ЧТД.

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности и перпендикулярна к этому радиусу, то эта прямая — касательная. Доказательство. Вот наша окружность, вот радиус, вот конец радиуса, и вот прямая, проходящая через конец радиуса и перпендикулярная радиусу. И нам надо доказать, что эта прямая — касательная. Докажем. Радиус перпендикулярен прямой, значит радиус — это кратчайшее расстояние до прямой. значит, остальные точки прямой находятся дальше от центра, чем точка касания, то есть остальные точки прямой лежат вне окружности, это значит, что прямая имеет только одну общую точку с окружностью. Значит прямая — касательная. ЧТД.