Построение касательной к окружности

Построение касательной к данной окружности из данной точки вне этой окружности. Дана окружность (а это значит, что дан и её центр) — и вот у нашей окружности центр — в точке O. И дана точка A вне данной окружности. Требуется построить касательную к данной окружности, проходящую через точку A. Для этого соединим отрезком точки A и O.

У получившегося отрезка AO построим середину C — для этого произвольным раствором циркуля построим первую вспомогательную дугу окружности с центром в точке O, тем же раствором циркуля построим вторую вспомогательную дугу окружности с центром в точке A — так чтобы вторая дуга пересекала первую в двух точках — D и E. Соединим D и E прямой, пересекающей отрезок AO. Получившаяся точка пересечения — это как раз середина C.

Теперь замерим AC циркулем и этим раствором циркуля построим третью вспомогательную окружность на отрезке AO, как на диаметре. Эта вспомогательная окружность пересекает данную окружность в двух точках — F и G. Выберем из них ту, которая нам больше нравится, и соединим эту точку прямой с данной точкой A. Получившаяся прямая FA — это и есть требуемая касательная. И вот почему: угол OFA — вписанный в третью вспомогательную окружность и опирается на диаметр, то есть на дугу в 180 градусов. И значит этот угол равен половине от 180 градусов, то есть 90 градусов. Выходит, что AF это прямая, проходящая через конец радиуса OF, лежащий на окружности, и перпендикулярная этому радиусу. А это значит, что AF — касательная. Построение закончено.