Теорема о соотношениях между сторонами и углами в треугольнике. Доказательства

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Вот наш треугольник АВС, у него сторона АС больше стороны ВС. Нам надо доказать, что угол В больше, чем угол А. Для этого отложим меньшую сторону ВС на большей стороне АС — получилась точка Д. Равенство отрезков помечено кружками. Треугольник ДВС — равнобедренный. Значит углы при его основании равны — они помечены номером 3. Теперь смотрим: нижний угол 3 — это внешний угол треугольника АВД. Внешний угол равен сумме двух несмежных с ним углов. То есть угол 3 равен сумме углов 1 и 2. А теперь сравним углы А и В. Угол А — это угол 1. А угол В — это сумма углов 2 и 3. Угол 3 — это тоже сумма. Значит, угол В — это сумма угла 2, угла 1 и угла 2. Эта сумма больше, чем угол 1, то есть угол А. ЧТД.

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА: в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Доказательство. Вот наш треугольник АВС. У него угол В больше угла А. И надо доказать, что сторона АС больше стороны ВС. Докажем от противного. Пусть наоборот ВС>АС.
Тогда по только что доказанному угол А должен быть больше угла В. Но дано обратное — значит предположение неверно, и ВС всё-таки меньше АС.