Вторая замечательная точка треугольника

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности. Доказательство. Вот наш произвольный треугольник, вот его биссектрисы — они делят углы треугольника на равные половинки. Нам надо доказать, что эти три биссектрисы пересекаются не в трёх, а в одной точке, и доказать особое свойство этой точки. Нам известно, что любая точка первой биссектрисы — биссектрисы угла А обладает свойством: она равноудалена от сторон своего угласторон треугольника АВ и АС. Также известно, что любая точка второй биссектрисы — биссектрисы угла В обладает своим свойством: она равноудалена от сторон своего угла — сторон треугольника ВС и АВ. Значит, точка пересечения биссектрис углов А и В обладает обоими описанными свойствами — она равноудалена от сторон АВ и АС и равноудалена от сторон АВ и ВС. Это значит, что эта точка равноудалена от сторон АС и ВС, то есть она лежит на биссектрисе угла С. Причём все стороны треугольника равноудалены от этой точки. Получается, что можно провести окружность с центром в этой точке, изнутри касающуюся всех трёх сторон треугольника — вписанную в треугольник окружность. ЧТД.

биссектриса

полупрямая, которая исходит из вершины угла и делит его пополам

вписанная окружность

окружность, лежащая внутри многоугольника, и касающаяся всех его сторон

окружность

замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра

стороны

смежные отрезки, соединяющие вершины многоугольника

треугольник

фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки

угол

фигура, состоящая из точки и двух исходящих из неё лучей

центр окружности

точка, от которой равноудалены все точки окружности

Расскажите друзьям!

Блицтест — полностью некоммерческий проект. Мы не берем оплату за пользование сайтом и не размещаем рекламу. Нам важно, чтобы вы рассказали о нас друзьям. Поделитесь ссылкой на сайт blitztest.ru в соцсетях или мессенджерах. Пусть еще больше людей обучаются бесплатно.