Третья замечательная точка треугольника — доказательство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка отсекает от каждой медианы её третью часть, считая от основания. Доказательство. Вот наш треугольник ABC, вот его медианы AD, BE и CF. И надо доказать, что эти три медианы пересекаются не в трёх, а в одной точке, и эта точка отсекает от каждой медианы ровно одну треть, то есть делит медианы в отношении 2:1. Чтобы доказать, рассмотрим сначала две медианы AD и CF — они пересекаются в одной точке. Соединим концы этих двух медиан D и F отрезком DF и середины сторон низкого треугольника отрезком GH. Получились два отрезка FD и GH — оба эти отрезка являются средними линиями. FD — это средняя линия (высокого) треугольника ABC, а GH — средняя линия (низкого) треугольника. Основание у высокого и низкого треугольников одно и то же — AC. А поскольку отрезки FD и GH — это средние линии, то оба отрезка параллельны AC и оба равны половине AC. Значит, четырёхугольник FDHG — это параллелограмм по первому признаку. Следовательно, диагонали параллелограмма разделились пополам. Выходит, что отрезки медианы CF — этот и этот — равны. А по построению GH — средняя линия низкого треугольника, следовательно, другие отрезки медианы CF — этот и этот — тоже равны. Выходит, что медиана CF разделена на три равных отрезка. И точка пересечения медиан отсекает один из этих трёх отрезков, то есть делит медиану в отношении 2:1. Если рассмотреть две другие медианы (CF и BE), то выяснится, что третья медиана придёт в ту же точку (отсекающую одну треть от CF) и разделится в отношении 1:2. Выходит, что все три медианы пересеклись в одной и той же точке, которая отсекает от медианы CF одну треть. Эта точка также отсекает от остальных медиан по одной трети. То есть точка пересечения у трёх медиан одна и все медианы эта точка делит в отношении 2:1. ЧТД. Точка пересечения медиан — это центр тяжести треугольника.

медиана

отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

отрезок

все точки прямой, расположенные между двумя заданными точками, которые называются концами отрезка

параллелограмм

четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

средняя линия треугольника

отрезок, соединяющий середины двух его сторон

стороны

смежные отрезки, соединяющие вершины многоугольника

треугольник

фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки

Расскажите друзьям!

Блицтест — полностью некоммерческий проект. Мы не берем оплату за пользование сайтом и не размещаем рекламу. Нам важно, чтобы вы рассказали о нас друзьям. Поделитесь ссылкой на сайт blitztest.ru в соцсетях или мессенджерах. Пусть еще больше людей обучаются бесплатно.