Теорема о свойстве высоты проведённой из вершины прямого угла на гипотенузу. Доказательство

Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. Доказательство. Вот наш прямоугольный треугольник ABC, вот его гипотенуза AB, вот высота CH, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу. И вот отрезки, на которые высота делит гипотенузу: AH и BH. И нам надо доказать, что высота — это среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, то есть AH/CH = CH/BH, доказать, что каждый катет — это среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, то есть AB/AC=AC/AH и AB/BC=BC/BH. Все эти три равенства следуют из подобия трёх изображённых треугольников ▲ACH, ▲BCH и исходного треугольника ▲ABC. Докажем сначала подобие ▲ACH и ▲ABC. У обоих этих треугольников равные прямые углы, и равные углы с кружком — то есть треугольники подобны по первому признаку, и третьи углы (с зубчиками) у них тоже равны. У треугольников ▲BCH и ▲ABC тоже равные прямые углы и равные углы с зубчиками — выходит, эти треугольники тоже подобны по первому признаку, и третьи углы (с кружком) у них тоже равны. У треугольников ▲ACH и ▲BCH тоже равные прямые углы и углы с кружком, и эти треугольники тоже подобны по первому признаку.

Подобие трёх треугольников доказано.
В подобных треугольниках ACH и BCH отношения короткого и длинного катетов равны — а это как раз наше первое равенство. В подобных треугольниках ACH и ABC отношения гипотенузы и короткого катета равны — это наше второе равенство.
В подобных треугольниках BCH и ABC отношения гипотенузы и длинного катета равны — и это наше третье равенство.
Равенства доказаны — а их и надо было доказать.

вершина

точка, из которой выходят два луча, образующих угол

высота треугольника

перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение

гипотенуза

сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла

катет

одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол

подобные треугольники

треугольники, у которых все углы равны, а лежащие против равных углов стороны пропорциональны

прямой угол

угол с градусной мерой равной 90°

треугольник

фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки

угол

фигура, состоящая из точки и двух исходящих из неё лучей

Расскажите друзьям!

Блицтест — полностью некоммерческий проект. Мы не берем оплату за пользование сайтом и не размещаем рекламу. Нам важно, чтобы вы рассказали о нас друзьям. Поделитесь ссылкой на сайт blitztest.ru в соцсетях или мессенджерах. Пусть еще больше людей обучаются бесплатно.