Теорема о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника. Доказательство

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Вот наш треугольник ABC, длины его сторон обозначены прописными латинскими буквами: ЭТА сторона равна b, ЭТА сторона равна a. И вот биссектриса угла C, она делит угол пополам, и равные половинки отмечены кружками. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки d и c. И нам надо доказать, что c/d = a/b. Для доказательства построим вспомогательные отрезки: проведём из точки A параллельно биссектрисе прямую до пересечения с продолжением стороны BC. Получились новые фигуры — присмотримся к ним. ЭТИ два угла равны как накрест лежащие при двух параллельных и секущей. А ЭТИ два угла равны как соответственные при двух параллельных и секущей. Выходит, что не только ЭТИ два, но все эти четыре угла равны — поэтому они помечены кружками. Получается, что ЭТОТ треугольник с двумя равными углами — равнобедренный, значит, у него равны две стороны, то есть ЭТА сторона тоже равна b. Ну а теперь получилось, что стороны угла пересечены двумя параллельными прямыми (как в теореме Фалеса) — и значит, рассечены на пропорциональные части. Запишем пропорцию: a/b=c/d. ЧТД.

биссектриса

полупрямая, которая исходит из вершины угла и делит его пополам

накрест лежащие углы

пары углов, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, расположенные с одной стороны по отношению к параллельным прямым, но с разных сторон от секущей

отрезок

все точки прямой, расположенные между двумя заданными точками, которые называются концами отрезка

параллельные прямые

прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, сколько бы их ни продолжали

равнобедренный треугольник

треугольник, у которого две стороны равны

соответственные углы

пары углов, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, расположенные с одной стороны по отношению как к параллельным прямым, так и к секущей

стороны

смежные отрезки, соединяющие вершины многоугольника

треугольник

фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки

угол

фигура, состоящая из точки и двух исходящих из неё лучей

Расскажите друзьям!

Блицтест — полностью некоммерческий проект. Мы не берем оплату за пользование сайтом и не размещаем рекламу. Нам важно, чтобы вы рассказали о нас друзьям. Поделитесь ссылкой на сайт blitztest.ru в соцсетях или мессенджерах. Пусть еще больше людей обучаются бесплатно.