Теорема о свойстве биссектрисы внешнего угла треугольника. Доказательство

Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в точке, отстоящей от концов этой стороны на расстояниях, пропорциональных прилежащим сторонам треугольника. Вот наш треугольник ABC, вот его внешний угол при вершине A, вот биссектриса этого внешнего угла — она делит угол пополам, и равные половинки отмечены зубчиками. Биссектриса пересекает продолжение стороны BC, противоположной вершине A. И точка пересечения удалена от концов BC на расстояния DB и DC. И нам надо доказать, что эти расстояния пропорциональны сторонам AB и AC, то есть DB/DC=AB/AC. Чтобы это доказать, мы из вершины B проведём параллельную биссектрисе прямую до пересечения со стороной AC (в точке E). Получились новые фигуры — присмотримся к ним. ЭТИ углы равны как накрест лежащие при двух параллельных и секущей. А ЭТИ углы равны как соответственные при двух параллельных и секущей. Выходит, что не только ЭТИ два, но все ЭТИ четыре угла равны — поэтому все они помечены зубчиками. Получилось, что в треугольнике ABE два угла равны — значит, он равнобедренный, и стороны AB и AE у него равны. Теперь получилось, что стороны угла пересечены параллельными прямыми (как в теореме Фалеса) — и значит, они рассечены на пропорциональные части, то есть AE относится к AC также как DB к DC. Но AE равно AB, и значит AB/AC=DB/DC. ЧТД.

биссектриса

полупрямая, которая исходит из вершины угла и делит его пополам

вершина

точка, из которой выходят два луча, образующих угол

накрест лежащие углы

пары углов, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, расположенные с одной стороны по отношению к параллельным прямым, но с разных сторон от секущей

параллельные прямые

прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, сколько бы их ни продолжали

равнобедренный треугольник

треугольник, у которого две стороны равны

соответственные углы

пары углов, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, расположенные с одной стороны по отношению как к параллельным прямым, так и к секущей

стороны

смежные отрезки, соединяющие вершины многоугольника

треугольник

фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки

угол

фигура, состоящая из точки и двух исходящих из неё лучей

Расскажите друзьям!

Блицтест — полностью некоммерческий проект. Мы не берем оплату за пользование сайтом и не размещаем рекламу. Нам важно, чтобы вы рассказали о нас друзьям. Поделитесь ссылкой на сайт blitztest.ru в соцсетях или мессенджерах. Пусть еще больше людей обучаются бесплатно.