Второе доказательство третьего признака равенства треугольников

Формулировка

Третий признак равенства треугольников — если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второе доказательство

Подвинем и совместим треугольники вершинами А и А1. Повернём и лучи АС и А1С1 также совместим в один луч. На получившемся луче AА1CС1 от его начала отложим отрезки АС и А1С1. Поскольку линейные меры отрезков равны — точки С и С1 совпадут.

Второе доказательство третьего признака равенства треугольников

Остались точки В и В1. Предположим, что В и В1 не совпадают. Тогда соединим их отрезком и отметим середину отрезка ВВ1 — точку М. Получились новые треугольники.

По условию АВ=А1В1, а значит треугольник АВВ1 — равнобедренный, и медиана MA — одновременно является и высотой, перпендикуляром к В1B.

По условию CВ=C1В1, а значит треугольник CВВ1 — равнобедренный, и медиана MC — одновременно является и высотой — ещё одним перпендикуляром к В1B.

К одному и тому же отрезку В1B из одной и той же точки M невозможно восставить сразу два перпендикуляра MA и MC. Значит, предположение неверно, и точки В и В1 совпадают. То есть треугольники ABC и A1B1C1 при наложении совместятся всеми своими точками, то есть они равны, что и требовалось доказать.