Третий признак равенства треугольников (по трём сторонам). Доказательства

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Первое доказательство. Соединим треугольники равными сторонами AC и A1C1. Один из треугольников отразим сверху вниз. Затем соединим точки B и B1 отрезком. У нас получились новые треугольники. В треугольнике ABB1 стороны AB и AB1 равны. Следовательно треугольник равнобедренный и его углы при основании равны — эти углы помечены кружками. В треугольнике CBB1 стороны CB и CB1 равны, следовательно треугольник равнобедренный, и равны его углы при основании — эти углы помечены двойной дужкой. У нас получилось, что углы ABC и A1B1C1 равны, так как они сложены из одинаковых углов. И следовательно исходные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. ЧТД.

Второе доказательство. Совместим треугольники вершинами А и А1. Лучи АС и А1С1 также совместим в один луч. На получившемся луче от его начала отложим отрезок АС. И на получившемся луче от его начала отложим отрезок А1С1. Поскольку линейные меры отрезков равны — точки С и С1 совпадут. Остались точки В и В1. Предположим, что В и В1 не совпадают. Тогда соединим их отрезком и отметим середину отрезка ВВ1 — точку М. Получились новые треугольники. Треугольник АВВ1 — равнобедренный, т.к. АВ=А1В1, значит медиана АМ является высотой. Треугольник СВВ1 — равнобедренный, т.к. СВ=С1В1, значит медиана СМ также является высотой. Получилось, что к прямой ВВ1 из одной точки М восставлены сразу 2 перпендикуляра — АМ и СМ. Такого быть не может, значит предположение неверно, и точки ВВ1 всё-таки совпадают. То есть треугольники при наложении совместились всеми своими точками, значит они равны. ЧТД.