Лемма о прямой параллельной стороне треугольника. Доказательство

Лемма о прямой,  параллельной стороне треугольника. Формулировка. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному. Доказательство. Вот наш треугольник, вот (ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ) прямая, параллельная его стороне, и она отсекает от исходного — маленький треугольник. И нам надо доказать, что маленький треугольник подобен большому, то есть у треугольников углы равны и стороны пропорциональны.

Равенство углов очевидно: верхний угол — общий, а две пары других (с кружками и с зубчиками) — это соответственные углы при двух параллельных и секущей. Если (левые) стороны треугольников выражены целыми числами, то разделим левую сторону большого треугольника на m отрезков (а левую сторону меньшего треугольника на n таких же отрезков). Из концов этих отрезков проведём прямые параллельно двум другим сторонам треугольника. По теореме Фалеса на других сторонах отложится такое же число равных отрезков.  Вот горизонтальные параллельные прямые, вот отложились равные отрезки на правой стороне. Отрезков тоже m и n. И вот наклонные прямые, параллельные правой стороне, вот отложились равные отрезки. Отрезков тоже m и n (а значит и на противоположной стороне параллелограмма их n, а эта сторона есть сторона маленького треугольника). Отсюда следует, пропорциональность сторон исходного и маленького треугольников.

Если же стороны треугольников выражены дробными числами, то их нужно делить на меньшие равные отрезки. Длину такого маленького отрезка можно найти с помощью алгоритма Евклида.