Выражения, неравенства, уравнения, тождества
Значение выражения
Значение выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий. Например, у выражения ( 5 + 7 ) : 2 значение 6.
Значение алгебраического выражения
Значение алгебраического выражения — это значение выражения, в котором на место переменных поставили их численные значения. Например, у выражения
(5a + 7b) : 2 при a = 9 и b = 3
значение 33.
Корень уравнения
Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, у уравнения
(5a + 21) : 2 = 33
корень 9.
Что значит решить уравнение
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Свойство уравнений: сложение и вычитание
Если к обеим частям уравнения ПРИБАВИТЬ или из обеих частей ВЫЧЕСТЬ одно и то же число, то получим равносильное уравнение. Например, равносильны следующие четыре уравнения
3a + 15 = 2a + 4
3a + 11 = 2a
a + 11 = 0
a = -11
Следствие: слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком — так в последних двух уравнениях слагаемое 11 перешло направо.
Свойство уравнений: умножение и деление
Если обе части уравнения умножать или разделить на одно и то же число (не равное 0), то получим равносильное уравнение. Например, равносильны следующие два уравнения:
3x = 12
x = 4
Следствие: числа или выражения можно переносить из одной части уравнения в другую из знаменателя в числитель (и наоборот).
x/5 = 12
x = 5 × 12 = 60
Строгие и нестрогие неравенства
В строгом неравенстве левая часть не может быть равна правой (>, <) . В нестрогом неравенстве левая часть может быть равна правой (≥ , ≤).
Тождество
Тождество — это равенство двух алгебраических выражений, верное при всех значениях входящих в него переменных. Например при всех значениях переменной x равны следующие два выражения:
(x - 5) × (x + 3) = x2 - 2 × x - 15
Убедимся в этом:
(10 - 5) × (10 + 3) = 5 × 13 = 65 = 100 - 20 - 15 = 102 - 2 × 10 - 15
(3 - 5) × (3 + 3) = -2 × 6 = -12 = 9 - 6 - 15 = 32 - 2 × 3 - 15
. . .