Выражения, неравенства, уравнения, тождества

Значение выражения

Значение выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий. Например, у выражения ( 5 + 7 ) : 2 значение 6.

Значение алгебраического выражения

Значение алгебраического выражения — это значение выражения, в котором на место переменных поставили их численные значения. Например, у выражения

(5a + 7b) : 2 при a = 9 и b = 3

значение 33.

Корень уравнения

Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, у уравнения

(5a + 21) : 2 = 33

корень 9.

Что значит решить уравнение

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Свойство уравнений: сложение и вычитание

Если к обеим частям уравнения ПРИБАВИТЬ или из обеих частей ВЫЧЕСТЬ одно и то же число, то получим равносильное уравнение. Например, равносильны следующие четыре уравнения

3a + 15 = 2a + 4
3a + 11 = 2a
a + 11 = 0
a = -11

Следствие: слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком — так в последних двух уравнениях слагаемое 11 перешло направо.

Свойство уравнений: умножение и деление

Если обе части уравнения умножать или разделить на одно и то же число (не равное 0), то получим равносильное уравнение. Например, равносильны следующие два уравнения:

3x = 12
x = 4

Следствие: числа или выражения можно переносить из одной части уравнения в другую из знаменателя в числитель (и наоборот).

x/5 = 12
x = 5 × 12 = 60

Строгие и нестрогие неравенства

В строгом неравенстве левая часть не может быть равна правой (>, <) . В нестрогом неравенстве левая часть может быть равна правой (≥ , ≤).

Тождество

Тождество — это равенство двух алгебраических выражений, верное при всех значениях входящих в него переменных. Например при всех значениях переменной x равны следующие два выражения:

(x - 5) × (x + 3) = x2 - 2 × x - 15

Убедимся в этом:

(10 - 5) × (10 + 3) = 5 × 13 = 65 = 100 - 20 - 15 = 102 - 2 × 10 - 15
(3 - 5) × (3 + 3) = -2 × 6 = -12 = 9 - 6 - 15 = 32 - 2 × 3 - 15
. . .