Уравнения с двумя переменными

Уравнения из текстовых задач

Разберём несколько примеров уравнений.

• "У Димы на пять рублей больше, чем у Феди."

  

• "Мастер выточил в три раза больше деталей, чем подмастерье."

  

• "Между кошкой и собакой 3 метра, кошка убегает от собаки. Пока кошка пробегает 7 метров, собака пробегает 2 метра."

  

Запишем эти соотношения величин в виде уравнений:

• Д = 5 + Ф (Д и Ф – это количества денег у Димы и у Феди)
• М = 3 × П (М и П – это количества деталей, выточенных Мастером и Подмастерьем)
• С = (2 × К / 7) – 3 (К и С – это координаты Кошки и Собаки в метрах. Отсчёт ведётся от начального местоположения Кошки.)

В каждом уравнении участвуют две переменные. Это уравнения с двумя переменными. Все три они имеют общее качество: это линейные уравнения с двумя переменными.

Линейное уравнение с двумя переменными

Линейное уравнение с двумя переменными – это уравнение вида

a × X + b × Y = c,

где а, в и с данные числа, а X и Y – две переменные. Таков общий вид линейного уравнения с двумя переменными. Уравнения про Диму с Федей, про мастера с подмастерьем и про кошку с собакой – тоже линейные. Вот они же, приведённые к общему виду:

1 × Д + (–1) × Ф = 51 × М + (–3) × П = 02 × К + (–7) × С = 21

Бывают и нелинейные уравнения.

График уравнения с двумя переменными

График уравнения с двумя переменными – это линия. График линейного уравнения с двумя переменными – прямая линия. Вот написаны шесть уравнений и нарисованы шесть их графиков:

Прямая

Первое уравнение линейное: 1 × Д + (–1) × Ф = 5, график – прямая.

Второе уравнение линейное: 1 × М + (–3) × П = 0, график – прямая.

Третье уравнение линейное: 2 × К + (–7) × С = 21, график – прямая.

Вот на графике отмечены 2 метра и 7 метров, которые пробегают собака и кошка за одно и то же время, и 3 метра отставания собаки.

Это уравнение описывает и ситуации "кошка убегает от собаки" и ситуацию "собака и кошка встретились" и ситуации "кошка догоняет собаку (до того, как встретились)".

Окружность

Четвёртое уравнение нелинейное: X² + Y² = 25 График такого уравнения – окружность с центром в начале координат и радиусом 5.

Гипербола

Пятое уравнение нелинейное: X × Y = 1. График такого уравнения – гипербола.

Парабола

Шестое уравнение нелинейное: Y = X² – 3. График такого уравнения – парабола.

Решения уравнения с двумя переменными

Решение уравнения с двумя переменными – это пара значений переменных, при которых уравнение обращается в верное равенство. Каждому решению уравнения соответствует точка на графике уравнения, и каждой точке соответствует решение. Вернёмся к уравнению "у Димы на 5 рублей больше, чем у Феди". Решений у этого уравнения много: У Димы 6 рублей, а у Феди 1 У Димы 6 рублей 50 копеек, а у Феди 1 рубль 50 копеек У Димы 8 рублей, а у Феди 3 У Димы 5 рублей, а у Феди нет денег и множество других...

Первое нелинейное уравнение окружности: X² + Y² = 25. У этого уравнения решений тоже много: X = 3; Y = 4 (т.к. 3² + 4² = 25) X = 0; Y = –5 (т.к. 0² + (–5)² = 25) X = –4; Y = –3 (т.к. (–4)² + (–3)² = 25) и множество других...

Решение системы уравнений с двумя переменными

Решение системы уравнений — это общее решение всех ее уравнений.

Перед нами система из двух уравнений с двумя переменными:

1) X² + Y² = 25 сумма квадратов аргументов равна двадцати пяти и 2) -X + 2Y = 5

Решений у этой системы всего два — это координаты точек пересечения графиков уравнений.( X = -5; Y = 0 ) ( X = 3; Y = 4 ) — обе пары являются решениями обоих уравнений.