Квадратные уравнения

Квадратные уравнения. Общего вида. Приведённое. Неполные.

Квадратное уравнение — это уравнение, в которое переменная входит во второй степени. Квадратное уравнение общего вида:

a × x2 + b × x + c = 0

Приведённое квадратное уравнение:

x2 + p × x + q = 0

Неполные квадратные уравнения — без линейной части и без свободных членов:

a × x2 = 0
a × x2 + b × x = 0
a × x2 + c = 0

Корни квадратного уравнения общего вида

Корни квадратного уравнения общего вида

a × x2 + b × x + c = 0

равны дроби, в знаменателе которой удвоенный первый коэффициент, а в числителе второй коэффициент, с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверённого произведения первого коэффициента на свободный член.

x1,2 = [ -b ± √(b² - 4 × a × c) ] / 2 × a

Например, у уравнения

3 × x2 - 27 × х + 60 = 0

корни равны

x1,2 = [ +27 ± √(27² - 4 × 3 × 60) ] / 2 × 3 = [ +27 ± √(729 - 720) ] / 6 = [ +27 ± 3 ] / 6

x1 = [ 27 + 3 ] / 6 = 30 / 6 = 5 x2 = [ 27 - 3 ] / 6 = 24 / 6 = 4

Убедимся проверкой

3 × 52 - 27 × 5 + 60 = 3 × 25 - 135 + 60 = 75 - 135 + 60 = -60 + 60 = 0
3 × 42 - 27 × 4 + 60 = 3 × 16 - 108 + 60 = 48 - 108 + 60 = -60 + 60 = 0

Корни квадратного уравнения общего вида с чётным вторым коэффициентом

Корни квадратного уравнения общего вида с четным вторым коэффициентом

a × x2 + 2 × k × x + c = 0

равны дроби, в знаменателе которой первый коэффициент, а в числителе половина второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этой половины без произведения первого коэффициента на свободный член.

x1,2 = [ -k ± √(k² - a × c) ] / a

Например, у уравнения

3 × x2 - 34 × х + 63 = 0

корни равны

x1,2 = [ +17 ± √(17² - 3 × 63) ] / 3 = [ +17 ± √(289 - 189) ] / 3 = [ +17 ± 10 ] / 3

x1 = [ 17 + 10 ] / 3 = 27 / 3 = 9 x2 = [ 17 - 10 ] / 3 = 7 / 3

Убедимся проверкой

3 × 92 - 34 × 9 + 63 =
= 3 × 81 - 306 + 63 =
= 243 - 306 + 63 =
= -63 + 63 = 0

3 × (7 / 3)2 - 34 × (7 / 3) + 63 =
= 3 × (49 / 9) - 238 / 3 + 63 =
= (147 / 9) - 714 / 9 + 63 =
= (-567 / 9) + 63 =
= -63 + 63 = 0

Корни приведённого квадратного уравнения

Корни приведенного квадратного уравнения

x2 + p × x + q = 0

равны половине второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этой половины без свободного члена.

x1,2 = -p/2 ± √( (-p/2)² - q)

Например, у уравнения

x2 - 8 × х + 15 = 0

корни равны

x1,2 = +4 ± √( 4² - 15) = 4 ± 1

x1 = 4 + 1 = 5 x2 = 4 - 1 = 3

Убедимся проверкой

52 - 8 × 5 + 15 = 25 - 40 + 15 = -15 + 15 = 0
32 - 8 × 3 + 15 = 9 - 24 + 15 = -15 + 15 = 0