Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество гласит, что для любого угла альфа сумма квадратов синуса и косинуса равна единице:

sin²(α) + cos²(α) = 1

Докажем это тождество с помощью единичной окружности. На окружности радиуса единица выберем произвольный угол и проведем радиус к этому углу:

Длина радиуса равна единице. Пусть этот радиус будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике. Для этого достроим катеты. По определению координаты конца радиуса равны (cos(α); sin(α)). И получается, что длины катетов равны минус косинусу и синусу альфа. Минус косинус потому, что косинус данного угла отрицательный:

cos(α) ≈ -0,8

А длина положительная – +0,8 и поэтому длина нижнего горизонтального катета равна –cos(α). Длина верхнего катета равна синусу альфа.

Запишем теорему Пифагора для этого треугольника. Теорема гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

1² = (sin(α))² + (–cos(α))²

После возведения в квадрат минус при косинусе исчезает, и получается:

sin²(α) + cos²(α) = 1

что и требовалось доказать.