Единицы измерения углов

Дуговой и угловой градусы

Окружность можно разделить на 360 одинаковых частей, и один дуговой градус равен 1/360 части окружности. По такому же принципу можно измерять и углы. Вершину угла нужно мысленно поместить в центр окружности, и тогда градусная мера угла будет равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Длина лучей, исходящих из вершины угла, не влияет на его градусную меру.

Прямой угол — это 1/4 часть от полного оборота, т.е. полный оборот разделен на четыре одинаковых угла, и градусная мера каждого из этих углов равна 90 градусов.

Радианная мера угла

Радианная мера угла равна отношению длины дуги, на которую он опирается, к радиусу окружности.

Мысленно поместим вершину прямого угла в центр окружности. Длина всей окружности рассчитывается по формуле 2×π×r, где r — радиус окружности. Соответственно, для окружности с радиусом в единицу, длина дуги, на которую опирается прямой угол составляет π/2, а его радианная мера равна отношению длины дуги (π/2) к радиусу окружности (1), т.е. тоже π/2.

Это отношение не зависит от размера окружности, т.к. если окружность в 3 раза больше, то и дуга будет в 3 раза больше. Значит, радианная мера прямого угла равна π/2.

Переход от радианной меры к градусной и обратно

Вспомним, что полный оборот составляет 360 градусов, а длина всей окружности равна 2×π×r. Радианная мера полного оборота равна отношению 2×π×r к r, т.е. 2π. Значит, 2π радиан = 360˚, а π радиан = 180˚. Т.е., вместо буквы π можно вписать 180˚, а вместо 180˚ — букву π.

Переведем значения отдельных углов из радиан в градусы:

π/2 радиан = 180˚/2 = 90˚

2π/3 радиан = (2 × 180˚)/3 = 360˚/3 = 120˚

В обратную сторону:

60˚ = 180˚/3 = π/3 радиан

45˚ = 180/4 = π/4 радиан

и т.д.