Действия с корнями.
Умножение корней с одинаковыми показателями
Чтобы перемножить корни с одинаковыми показателями, нужно оставить тот же показатель корня, а подкоренные выражения перемножить.
√(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45
Умножение корней с разными показателями
Чтобы перемножить корни с разными показателями, нужно сначала привести корни к общему показателю, а потом перемножить полученные корни с одинаковым показателем. Чтобы умножить корень на число, надо занести под знак корня это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.
∛(729) × √(25) =
= √(81) × √(25) =
= √(81 × 25) =
= 9 × 5 =
= 45
Деление корней с одинаковыми и разными показателями
Чтобы разделить корни с одинаковыми показателями, нужно разделить подкоренные выражения, а показатель корня оставить прежний.
√(81) / √(25) =
= √(81 / 25) =
= 9 / 5
Если показатели корней разные, то сначала нужно привести корни к общему показателю, а потом — поделить получившиеся корни с одинаковыми показателями.Можно делить (число на корень или корень на число) — для этого нужно занести под знак корня (в числитель или в знаменатель) это число, возведённое в степень с показателем, как у корня.
∛(729) / √(25) =
= √(81) / √(25) =
= √(81 / 25) =
= 9 / 5
Возведение корней в степень
Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в эту степень подкоренное выражение, а показатель корня оставить тем же.
(∛(125))2 = (∛(1252))
Извлечение корня из корня
Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить показатели корней, а подкоренное выражение оставить прежним.
Уничтожение иррациональности в знаменателе
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно домножить на одно и то же выражение числитель и знаменатель дроби, пользуясь по мере надобности формулами сокращённого умножения. Если в знаменатетеле дроби корень числа — домножаем на такой же корень, и в знаменателе оказывается само число.
7 / √(5) =
= 7 × √(5) / 5
Если в знаменателе дроби сумма/разность корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих корней, и в знаменателе оказывается разность самих чисел.
7 / [ √(7) - √(3) ] =
= 7 × [ √(7) + √(3) ] / [ 7 - 3 ] =
= 7 × [ √(7) + √(3) ] / 4
Если в знаменателе сумма/разность кубических корней двух чисел — домножаем на неполный квадрат разности/суммы этих кубических корней. В знаменателе получается сумма/разность самих чисел.Если в знаменателе неполный квадрат суммы/разности кубических корней двух чисел — домножаем на разность/сумму этих кубических корней. В знаменателе получается разность/сумма самих чисел.
5 / [ ∛(7) + ∛(4) ] =
= 5 × [ ∛(49) - ∛(7 × 4) + ∛(16) ] / [ 7 + 4 ] =
= 5 × [ ∛(49) - ∛(7 × 4) + ∛(16) ] / 11