Действия с одночленами и многочленами

Как сложить одночлены

Два подобных одночлена можно сложить, и их сумма — это одночлен подобный слагаемым, с числовым коэффициент равным сумме числовых коэффициентов слагаемых. Так сложить можно только подобные одночлены. Сумма неподобных одночленов — это не одночлен, а многочлен.
3 × a 5 × b 4 + 7,3 × a 5 × b 4 =
= 10,3 × a 5 × b 4

Как умножить одночлен на одночлен

Чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить коэффициенты, показатели степеней одинаковых переменных сложить. Перемножить можно любые два одночлена — и подобные и неподобные.

7 × a3 × b4 × 2 × a × b5 =
14 × a4 × b9

Как разделить одночлен на одночлен

Чтобы разделить одночлен на одночлен, надо разделить коэффициенты, показатели степеней одинаковых переменных вычесть.

(21 × a4 × b5) : (3 × a2) =
7 × a2 × b5

Как умножить одночлен на многочлен

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо одночлен умножить на каждый член многочлена.

3 × a × b × [ 7 × a3 × b4 + 2 × a × b5 × y ] =
21 × a4 × b5 + 6 × a2 × b6 × y

Как разделить многочлен на одночлен

Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена разделить на этот одночлен.

[ 12 × a3 × b5 × x - 33 × a × b3 × y ] : (3 × a × b) =
[ 4 × a2 × b4 × x - 11 × b2 × y

Как умножить многочлен на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен надо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

[ 2 × a3 × x + 5 × b2 × x3 ] × [ 3 × a × b2 - 7 × x5 ] =
=[ 2 × a3 × x + 5 × b2 × x3 ] × [ 3 × a × b2 ] - [ 2 × a3 × x + 5 × b2 × x3 ] × [ 7 × x5 ] =
= 6 × a4 × b2 × x + 15 × a × b4 × x3 - 14 × a3 × x6 - 35 × b2 × x8

Деление многочлена на многочлен Пример 1

Сейчас я покажу, как делить многочлен на многочлен в столбик. Обращаю ваше внимание на то, что не всякие два многочлена делятся один на другой. В этом видео специально подобраны пары многочленов, которые делятся один на другой. Также обращаю внимание на то, что для удобства деления слагаемые в многочленах нужно располагать в порядке убывания степеней — здесь в примерах слагаемые будут уже расставлены в нужном порядке. Чтобы поделить многочлены, нужно циклично повторять четыре действия: подели, занеси, умножь, вычти.

Пример 1: (12 × a5 + 13 × a4 + 3 × a3 + 12 × a2 + 9 × a) : (4 × a2 + 3 × a)

Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.

Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (12 × a5) : (4 × a2) — получается 3 × a3. Заносим 3 × a3 в ответ. Умножим весь делитель на 3 × a3 — получается 12 × a5 + 9 × a4. Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью делимого. Вычтем произведение из делимого — остаётся 4 × a4 + 3 × a3 + 12 × a2 + 9 × a.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (4 × a4) : (4 × a2)— получается a2. Заносим a2 в ответ ( + a2). Умножим весь делитель на a2 — получается 4 × a4 + 3 × a3. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 12 × a2 + 9 × a.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (12 × a2) : (4 × a2) — получается 3. Заносим 3 в ответ ( + 3). Умножим весь делитель на 3 — получается 12 × a2 + 9 × a. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.

Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно 3 × a3 + a2 + 3.

Деление многочлена на многочлен Пример 2

(-28 × a5 + 24 × a4 — 35 × a3 — 6 × a2 — 45) : (4 × a2 + 5)

Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.

Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (-28 × a5) : (4 × a2) — получается -7 × a3. Заносим -7 × a3 в ответ. Умножим весь делитель на -7 × a3 — получается -28 × a5 — 35 × a3. Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое под соответствующей степенью делимого.Вычтем произведение из делимого — остаётся 24 × a4 — 6 × a2 — 45.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (24 × a4) : (4 × a2) — получается 6 × a2. Заносим 6 × a2 в ответ ( + 6 × a2). Умножим весь делитель на 6 × a2 — получается 24 × a2 + 30 × a2. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся -36 × a2 — 45.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (-36 × a2) : (4 × a2) — получается -9. Умножим весь делитель на -9 — получается -36 × a2 — 45. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.

Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно -7 × a3 + 6 × a2 — 9.

Деление многочлена на многочлен Пример 3

Пример 3: (54 × a6 — 63 × a5 + 42 × a4 + 185 × a3 — 136 × a2 + 8 × a + 72) : (-9 × a3 + 8 × a — 8)

Слагаемые расставлены в порядке убывания степени a.

Поделим старшее слагаемое делимого на старшее слагаемое делителя: (54 × a6) : (-9 × a3) — получается -6 × a3. Заносим -6 × a3 в ответ. Умножим весь делитель на -6 × a3 — получается 54 × a6 — 48 × a4 + 48 × a3. Запишем это произведение под делимым — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью делимого. Вычтем произведение из делимого — остаётся -63 × a5 + 90 × a4 + 137 × a3 — 136 × a2 + 8 × a + 72.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (-63 × a5) : (-9 × a3) — получается 7 × a2. Заносим 7 × a2 в ответ ( + 7 × a2). Умножим весь делитель на 7 × a2 — получается -63 × a5 + 56 × a3 — 56 × a2. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 90 × a4 + 81 × a3 — 80 × a2 + 8 × a + 72.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (90 × a4) : (-9 × a3) — получается (-10 × a). Заносим (-10 × a) в ответ ( — 10 × a). Умножим весь делитель на ( — 10 × a) — получается 90 × a4 — 80 × a2 + 80a. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся 81 × a3 — 72 × a + 72.

Поделим старшее слагаемое остатка на старшее слагаемое делителя: (81 × a3) : (-9 × a3) — получается -9. Заносим -9 в ответ ( -9). Умножим весь делитель на (-9) — получается 81 × a3 - 72 × a + 72. Запишем это произведение под остатком — каждое слагаемое произведения под соответствующей степенью остатка. Вычтем произведение из остатка — остаётся ноль.

Значит, многочлены поделились без остатка, и частное равно -6 × a3 + 7 × a2 - 10 × a - 9.