Иррациональность корня
Теорема о свойстве рационального числа — аналитическое доказательство
Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Доказательство — от противного. Пусть существует рациональное число X, такое что X2 = 2. Рациональное число X равно некоторой несократимой дроби X = a / b . Раз X2 = 2 , значит a² / b² = 2. Перенесём b² в правую часть в числитель. Получилось, что а² чётное, а значит, само число a — тоже чётное. Запишем: a = 2 × m. Возведём в квадрат, и выходит, что a² = 4 × m². Поставим 4 × m² вместо a² в полученное прежде равенство: получилось 4 × m² = 2 × b² . Сократим на 2 и получим 2 × m² = b² теперь выходит, что b² чётное, то есть и само b — тоже чётное. Запишем b = 2 × n. Получилось, что нашу предположительно несократимую дробь a / b = 2 × m / 2 × n — можно сократить на 2. Раз получилось, что несократимая дробь сократима, значит, предположение о существовании дроби оказалось неверно. И число X не представляется в виде дроби, то есть не является рациональным. ЧТД.
Алгоритм Евклида для нахождения НОД
Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух данных чисел заключается в том, чтоб делить большее число на меньшее, а затем делить меньшее на остаток. Так повторяют, пока в остатке не получится 0, и тогда остаток, получившийся на предыдущем шаге — это и будет НОД.
Алгоритм Евклида — геометрическое изложение
Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя. Даны два отрезка :
отрезки:
150 см
96 см
И надо найти наибольший отрезок, которому кратны оба данных отрезка. Алгоритм Евклида — это большее делим на меньшее, а потом меньшее на остаток. Сначала больший отрезок делим на меньший. Замеряю меньший отрезок и откладываю меньший на большем — получается один целый кусочек и остаток:
150 / 96 = 1 ост 54
отрезки:
150 см = 96 см + 54 см
96 см
Замеряю остаток и откладываю на меньшем отрезке. Получается опять один целый кусочек и остаток.
96 / 54 = 1 ост 42
отрезки:
150 см = 96 см + 54 см
96 см = 54 см + 42 см
Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается опять один целый кусочек и остаток.
54 / 42 = 1 ост 12
отрезки:
150 см = 96 см + 42 см + 12 см
96 см = 54 см + 42 см
Замеряю остаток и откладываю на предыдушем остатке. Получается три целых кусочка и остаток.
42 / 12 = 3 ост 6
отрезки:
150 см = 96 см + 42 см + 12 см
96 см = 54 см + 12 см + 12 см + 12 см + 6 см
Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается ровно два целых кусочка.
12 / 6 = 2
Этот целый кусочек 6 и есть НОД. И вот почему: предыдущий остаток содержит два целых кусочка, а каждый предыдущий остаток укладывается в предпредыдущем целое число раз, то есть и предпредыдущий остаток и остаток до него и изначальное целое — все делятся на наш последний кусочек нацело.
отрезки:
150 см = 16 × 6 см + 7 × 6 см + 2 × 6 см
96 см = 9 × 6 см + 2 × 6 см + 2 × 6 см + 2 × 6 см + 6 см
Даны два отрезка — и надо найти наибольший отрезок, которому кратны оба данных отрезка. Алгоритм Евклида — это большее делим на меньшее, а потом меньшее на остаток. Сначала больший отрезок делим на меньший. Замеряю меньший отрезок и откладываю меньший на большем — получается один целый кусочек и остаток. 150 / 96 = 1 ост 54 Замеряю остаток и откладываю на меньшем отрезке. Получается опять один целый кусочек и остаток. 96 / 54 = 1 ост 42 Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается опять один целый кусочек и остаток. 54 / 42 = 1 ост 12 Замеряю остаток и откладываю на предыдушем остатке. Получается три целых кусочка и остаток. 42 / 12 = 3 ост 6 Замеряю остаток и откладываю на предыдущем остатке. Получается ровно два целых кусочка. 12 / 6 = 2 Этот целый кусочек 6 и есть НОД. И вот почему: предыдущий остаток содержит два целых кусочка, а каждый предыдущий остаток укладывается в предпредыдущем целое число раз, то есть и предпредыдущий остаток и остаток до него и изначальное целое — все делятся на наш последний кусочек нацело.
НОД(150,96) = 6
Теорема о свойстве рационального числа — геометрическое доказательство. Несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной.
Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение выражается иррациональным числом. Вот наш квадрат, вот его сторона (помечена кружком), вот диагональ. Если бы отношение диагонали к стороне было рациональным числом, и диагональ к стороне относилась бы как сколько-то единиц к скольки-то единицам, то найти эту единицу можно было бы с помощью алгоритма Евклида. Вот мы и поищем единицу. Разделим большее (диагональ) на меньшее (сторону). Получается 1, и остаток помечен двойным штрихом. Из начала остатка восставим перпендикуляр к диагонали. Получились ТРИ равнобедренных треугольника. 1) треугольник с равными сторонами-кружками (У его основания — равные углы, помеченные кружками). 2) прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине и половинами прямого угла при основании. 3) треугольник с равными углами (с двойной дужкой) при основании. Углы с двойной дужкой равны, потому что оба они — это разность между прямым углом и углом с кружком (здесь прямой угол минус уголс кружком — это угол с двойной дужкой и здесь так же прямой угол минус угол с кружком — это угол с двойной дужкой). Из равнобедренности треугольников следует равенство ЭТИХ отрезков и ЭТИХ отрезков. Теперь будем меньшее (сторону) делить на остаток (с двойным штрихом). У нас получится 2. Но маленький равнобедренный прямоугольный треугольник подобен исходному равнобедренному прямоугольному треугольнику. Следовательно второй шаг алгоритма — это уменьшенное подобие первого шага. А значит и третий шаг будет уменьшенным подобием второго и т. д. Такой процесс можно продолжать до бесконечности, а для успешного нахождения единицы у алгоритма должно быть конечное число шагов. Значит единицы не существует, и отношение диагонали квадрата к его стороне не является рациональным числом.