Вторая замечательная точка треугольника

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной окружности. Доказательство. Вот наш произвольный треугольник вот его биссектрисы - они делят углы треугольника на равные половинки. Нам надо доказать, что эти три биссектрисы пересекаются не в трёх, а в одной точке, и доказать особое свойство этой точки. Нам известно, что любая точка первой биссектрисы - биссектрисы угла А обладает свойством: она равноудалена от сторон своего угла - сторон треугольника АВ и АС. Также известно, что любая точка второй биссектрисы - биссектрисы угла В обладает своим свойством: она равноудалена от сторон своего угла - сторон треугольника ВС и АВ. Значит, точка пересечения биссектрис углов А и В обладает обоими описанными свойствами - она равноудалена от сторон АВ и АС и равноудалена от сторон АВ и ВС. Это значит, что эта точка равноудалена от сторон АС и ВС, то есть она лежит на биссектрисе угла С. Причём все стороны треугольника равноудалены от этой точки. Получается, что можно провести окружность с центром в этой точке, изнутри касающуюся всех трёх сторон треугольника - вписанную в треугольник окружность. ЧТД.

Уроки курса