Третья замечательная точка треугольника - доказательство.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка отсекает от каждой медианы её третью часть, считая от основания. Доказательство. Вот наш треугольник ABC, вот его медианы AD, BE и CF. И надо доказать, что эти три медианы пересекаются не в трёх, а в одной точке, и эта точка отсекает от каждой медианы ровно одну треть, то есть делит медианы в отношении 2:1. Чтобы доказать, рассмотрим сначала две медианы AD и CF - они пересекаются в одной точке. Соединим концы этих двух медиан D и F отрезком DF и середины сторон низкого треугольника отрезком GH. Получились два отрезка FD и GH - оба эти отрезка являются средними линиями. FD - это средняя линия (высокого) треугольника ABC, а GH - средняя линия (низкого) треугольника. Основание у высокого и низкого треугольников одно и то же - AC. А поскольку отрезки FD и GH - это средние линии, то оба отрезка параллельны AC и оба равны половине AC. Значит, четырёхугольник FDHG — это параллелограмм по первому признаку. Следовательно, диагонали параллелограмма разделились пополам. Выходит, что отрезки медианы CF - этот и этот - равны. А по построению GH - средняя линия низкого треугольника, следовательно, другие отрезки медианы CF - этот и этот - тоже равны. Выходит, что медиана CF разделена на три равных отрезка. И точка пересечения медиан отсекает один из этих трёх отрезков, то есть делит медиану в отношении 2:1. Если рассмотреть две другие медианы (CF и BE), то выяснится, что третья медиана придёт в ту же точку (отсекающую одну треть от CF) и разделится в отношении 1:2. Выходит, что все три медианы пересеклись в одной и той же точке, которая отсекает от медианы CF одну треть. Эта точка также отсекает от остальных медиан по одной трети. То есть точка пересечения у трёх медиан одна и все медианы эта точка делит в отношении 2:1. ЧТД. Точка пересечения медиан — это центр тяжести треугольника.

Уроки курса