Третий признак подобия треугольников. Доказательство

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство. Вот наши треугольники — большой и маленький. Нам дано, что AB/A1B1=BC/B1C1=AC/A1C1. И надо доказать, что маленький и большой треугольники подобны. Причём пропорциональность сторон доказывать не придётся — она уже дана, а вот равенство углов пока под сомнением — оно будет доказано вместе с подобием. Снова отложим на левой стороне большого треугольника отрезок AK=A1B1. И из точки K проведём прямую, параллельную стороне BC. Отсечённый треугольник ▲AKP по лемме подобен большому ▲ABC. Составляем две пропорции из сходственных сторон (два равенства): AB/AK=BC/KP=AC/AP. В обоих двойных равенствах закроем сначала третью часть — получились две пропорции, и три члена первой пропорции равны трём членам второй пропорции, а именно AB, BC и сторона-звёздочка. Значит, четвёртые члены тоже равны B1C1 = KP. Поэтому они отмечены цветочками.

Теперь в обоих равенствах закроем первые части. И снова видим две пропорции, и три члена первой пропорции равны трём членам второй пропорции, а именно BC, AC и стороны-цветочки. Следовательно, и четвёртые члены пропорций равны, то есть A1C1 = AР. Отсечённый треугольник ▲AKP по лемме подобен большому и по третьему признаку равен меньшему треугольнику ▲A1B1C1. Значит, меньший треугольник, как и отсечённый, подобен большому, и их углы равны. ЧТД.