Теорема об измерении угла с вершиной вне круга. Доказательство.

Угол с вершиной вне круга измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство. Вот наша окружность, вот угол с вершиной вне круга - он отмечен дужкой, вот стороны угла. Вот дуги, заключённые между сторонами угла - маленькая (отмечена зубчиками) и большая (отмечена двойной дужкой). И нам надо доказать, что угол с дужкой равен полуразности дуг с двойной дужкой и с зубчиками. Докажем - рассмотрим треугольник ADE его угол DAE, отмеченный зубчиками, опирается на дугу с зубчиками, и равен её половине. А его внешний угол ADC, отмеченный двойной дужкой - опирается на дугу с двойной дужкой, и равен её половине. А исходный угол AED (с дужкой) - это внутренний угол треугольника ADE. Внешний угол ADC равен сумме двух несмежных с ним углов - с зубчиками и с дужкой. Из обеих частей этого равенства вычтем угол с зубчиками, и получим равносильное равенство - угол с дужкой равен разности угла с двойной дужкой и угла с зубчиками, то есть полуразности дуги с двойной дужкой и дуги с зубчиками, ЧТД.

Уроки курса