Теорема о свойстве высоты проведённой из вершины прямого угла на гипотенузу. Доказательство.

Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. Доказательство. Вот наш прямоугольный треугольник ABC, вот его гипотенуза AB, вот высота CH, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу. И вот отрезки, на которые высота делит гипотенузу: AH и BH. И нам надо доказать, что высота - это среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, то есть AH/CH = CH/BH; доказать, что каждый катет - это среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, то есть AB/AC=AC/AH и AB/BC=BC/BH. Все эти три равенства следуют из подобия трёх изображённых треугольников ▲ACH, ▲BCH и исходного треугольника ▲ABC. Докажем сначала подобие ▲ACH и ▲ABC. У обоих этих треугольников равные прямые углы, и равные углы с кружком - то есть треугольники подобны по первому признаку, и третьи углы (с зубчиками) у них тоже равны. У треугольников ▲BCH и ▲ABC тоже равные прямые углы и равные углы с зубчиками - выходит, эти треугольники тоже подобны по первому признаку, и третьи углы (с кружком) у них тоже равны. У треугольников ▲ACH и ▲BCH тоже равные прямые углы и углы с кружком, и эти треугольники тоже подобны по первому признаку.

Подобие трёх треугольников доказано.
В подобных треугольниках ACH и BCH отношения короткого и длинного катетов равны - а это как раз наше первое равенство.
В подобных треугольниках ACH и ABC отношения гипотенузы и короткого катета равны - это наше второе равенство.
В подобных треугольниках BCH и ABC отношения гипотенузы и длинного катета равны - и это наше третье равенство.
Равенства доказаны - а их и надо было доказать.

Уроки курса