Теорема о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника. Доказательство.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Вот наш треугольник ABC, длины его сторон обозначены прописными латинскими буквами: ЭТА сторона равна b, ЭТА сторона равна a. И вот биссектриса угла C, она делит угол пополам, и равные половинки отмечены кружками. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки d и c. И нам надо доказать, что c/d = a/b. Для доказательства построим вспомогательные отрезки: проведём из точки A параллельно биссектрисе прямую до пересечения с продолжением стороны BC. Получились новые фигуры - присмотримся к ним. ЭТИ два угла равны как накрест лежащие при ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ и СЕКУЩЕЙ. А ЭТИ два угла равны как соответственные при ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ и СЕКУЩЕЙ. Выходит, что не только ЭТИ два, но все эти четыре угла равны - поэтому они помечены кружками. Получается, что ЭТОТ треугольник с двумя равными углами - равнобедренный, значит, у него равны две стороны, то есть ЭТА сторона тоже равна b. Ну а теперь получилось, что СТОРОНЫ УГЛА пересечены двумя ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ (как в т. Фалеса) - и значит, рассечены на пропорциональные части. Запишем пропорцию: a/b=c/d. ЧТД.

Уроки курса