Теорема о свойстве биссектрисы внешнего угла треугольника. Доказательство.

Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в точке, отстоящей от концов этой стороны на расстояниях пропорциональных прилежащим сторонам треугольника. Вот наш треугольник ABC, вот его внешний угол при вершине A, вот биссектриса этого внешнего угла - она делит угол пополам, и равные половинки отмечены зубчиками. Биссектриса пересекает ПРОДОЛЖЕНИЕ стороны BC, противоположной вершине A. И точка пересечения удалена от концов BC на РАССТОЯНИЯ DB и DC. И нам надо доказать, что эти расстояния пропорциональны сторонам AB и AC, то есть DB/DC=AB/AC. Чтобы это доказать, мы из вершины B проведём параллельную биссектрисе прямую до пересечения со стороной AC (в точке E). Получились новые фигуры - присмотримся к ним. ЭТИ углы равны как накрест лежащие при ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ и СЕКУЩЕЙ. А ЭТИ углы равны как соответственные при ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ И СЕКУЩЕЙ. Выходит, что не только ЭТИ два, но все ЭТИ четыре угла равны - поэтому все они помечены зубчиками. Получилось, что в треугольнике ABE два угла равны - значит, он равнобедренный, и стороны AB и AE у него равны. Теперь получилось, что СТОРОНЫ УГЛА пересечены ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ (как в теореме Фалеса) - и значит, они рассечены на пропорциональные части, то есть AE относится к AC также как DB к DC. Но AE равно AB, и значит AB/AC=DB/DC. ЧТД.

Уроки курса