Теорема о касательной и секущей. Доказательство.

Если из точки вне окружности проведены к ней касательная и секущая, то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной. Вот наша окружность, вот точка A вне окружности, вот секущая AD, вот её внешняя часть AC, и вот касательная AB. И нам надо доказать, что AD*AC=AB^2. Чтобы доказать, проведём две хорды BC и BD и рассмотрим получившиеся треугольники ABC и ABD. Они подобны, т.к. у них один угол общий - угол A, и два равных угла с зубчиками: угол BDA вписанный, а угол CBA образован касательной и хордой, и оба угла измеряются половиной общей дуги с зубчиками. Составим пропорцию из соответственных сторон: то есть запишем равенство отношений длинной стороны к стороне, лежащей против зубастого угла: AD/AB=AB/AC. Это равенство равносильно тому, которое и требовалось доказать.

Уроки курса