Построение общей внутренней касательной к двум окружностям.

Построение общей внутренней касательной к двум окружностям. Даны две окружности (а это значит, что даны и их центры O1 и O2). Требуется провести общую внутреннюю касательную к ним, то есть такую касательную, что данные окружности лежат от неё по разные стороны. 

Радиус большей окружности - называем R, радиус меньшей окружности - r. И сначала вокруг меньшей окружности построим вспомогательную окружность с тем же центром и радиуса (R+r). Затем построим из центра большей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности, и требуемая внутренняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной.

Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился AC = R + r. Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1.

Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 - так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине - эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (мне нравится точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 - это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр большой данной окружности.

Прямая HO2 пересекла большую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равноотстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L - так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой - эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает большую данную окружность в некоторой точке (называем её N).

Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N - так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в Q, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в S - так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой - эта прямая NT и будет требуемой общей внутренней касательной к двум данным окружностям.

И вот почему: NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N - следовательно, NT - касательная к большой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и точку его пересечения с прямой TN называем U. Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H - значит, угол O2HU - прямой. Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла - значит и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N - прямоугольник, в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу R. Теперь можем найти длину отрезка O1U (составляющего вместе с UH отрезок O1H). Длина равна разности длин O1H и HU, то есть (r + R) - R = r. Выходит, что U отстоит от O1 на r, то есть U лежит на меньшей данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U - проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN - касательная к меньшей данной окружности. Построение закончено.

Уроки курса