Доказательство третьего признака.

Доказательство третьего признака параллелограмма. Если диагонали выпуклого четырёхугольника точкой своего пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство. Вот наш четырёхугольник ABCD и про него известно, что его диагонали BD и AC, точкой своего пересечения E делятся на равные половинки, то есть AE=CE и BE=DE. И надо доказать, что этот четырёхугольник ABCD - параллелограмм. Чтобы доказать, мы рассмотрим треугольники ADE и CBE. В этих треугольниках углы BEC и DEA равны как вертикальные. Стороны BE и DE равны по условию, и стороны AE и CE - тоже равны по условию. Значит, треугольники равны по 1-му признаку. Это значит, что их соответственные углы BCE и DAE равны, а эти углы являются накрест лежащими при двух боковых сторонах и секущей AC, следовательно, боковые стороны четырёхугольника - AD и BC - параллельны. Теперь рассмотрим треугольники EAB и ECD. В этих треугольниках углы BEA и DEC равны, как вертикальные. Стороны BE и DE равны по условию и стороны AE и CE - равны по условию. Следовательно и эти треугольники тоже равны по первому признаку. Это значит, что их соответственные углы BAE и DCE равны, а эти углы являются накрест лежащими при верхней и нижней сторонах AB и CD и секущей диагонали AC. Значит, стороны AB и CD тоже параллельны, то есть четырёхугольник ABCD - параллелограмм, ЧТД.

Уроки курса