Теорема о единственности опущенного перпендикуляра по Атанасяну

Из данной точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и при том только один. Доказательство. Сначала через точку B проведём наклонную к прямой a под произвольным углом. Затем в нижней полуплоскости отложим такой же угол - вот равенство углов отмечено кружками. И на образовавшемся луче отложим отрезок CD равный отрезку CB. Достроим чертёж до равнобедренного треугольника BCD. В нём CE будет биссектрисой по построению. Но поскольку треугольник равнобедренный, CE будет одновременно и высотой, то есть перпендикуляром к основанию BD. Следовательно BE - это искомый перпендикуляр к прямой a. Осталось доказать, что он единственный. Допустим, что построен ещё один перпендикуляр из точки B на прямую a - этот предполагаемый перпендикуляр отмечен пунктиром. Но тогда в образовавшемся треугольнике будет два прямых угла. А такого быть не может, следовательно предположение неверно, и перпендикуляр BE всё-таки единственный. ЧТД.

Уроки курса