Теорема о единственности опущенного перпендикуляра по Погорелову

Из данной точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и при том только один. Доказательство. Вот наша данная прямая a, вот данная точка B, не лежащая на прямой a. Сначала через точку B проведём прямую c, параллельную прямой a. Это мы сделать можем, это аксиома. Затем из точки B восставим перпендикуляр к прямой c - это мы сделать можем согласно свойству перпендикуляра к прямой. Но перпендикуляр к одной из параллельных прямых будет одновременно перпендикуляром и к другой из параллельных прямых, следовательно мы смогли опустить перпендикуляр BD на прямую a из точки B. Осталось доказать, что этот перпендикуляр - единственный. Предположим, что перпендикуляр не единственный, и кто-то провёл ещё один перпендикуляр из точки B к прямой a - вот предполагаемый перпендикуляр отмечен пунктиром. Но тогда в образовавшемся треугольнике с вершиной B - будет два прямых угла. Такого быть не может. Следовательно предположение неверно, и перпендикуляр BD всё-таки единственный. ЧТД.

Уроки курса