Если при пересечении двух прямых третьей окажется, что какие-нибудь накрест лежащие углы равны или какие-нибудь соответственные углы равны или сумма каких-нибудь односторонних углов равна 180°, то такие прямые параллельны. Доказательство. Вот наши прямые и вот равные накрест лежащие углы — помечены дужкой. Предположим противное — то есть что прямые всё же пересеклись в некоторой точке С. Тогда от точки В отложим отрезок ВС1, равный отрезку АС. И точку С1 соединим отрезком с точкой А. Получившиеся треугольники АВС и ВАС1 равны по двум сторонам и углу между ними. А в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы — пометим равные углы кружками. В получившемся треугольнике CAC1 угол при вершине А равен сумме угла с дужкой и угла с кружком, а сумма угла с дужкой и угла с кружком равна 180°, т.к. они смежные. Выходит, что в треугольнике угол равен 180° — такого быть не может, значит предположение неверно, и прямые всё-таки параллельны. ЧТД. Случаи, когда не накрест лежащие, а соответственные углы равны или сумма односторонних углов равна 180° — сводятся к равенству накрест лежащих углов.