Признак параллельности прямых по Погорелову

Если при пересечении двух прямых третьей окажется, что какие-нибудь накрест лежащие углы равны или какие-нибудь соответственные углы равны или сумма каких-нибудь односторонних углов равна 180°, то такие прямые параллельны. Доказательство. Вот наши прямые и вот равные накрест лежащие углы - помечены душкой. Предположим противное - то есть что прямые всё же пересеклись в некоторой точке С. Тогда от точки В отложим отрезок ВС1, равный отрезку АС. И точку С1 соединим отрезком с точкой А. Получившиеся треугольники АВС и ВАС1 равны по двум сторонам и углу между ними. А в равных реугольниках против равных сторон лежат равные углы - пометим равные углы кружками. В получившемся треугольнике CAC1 угол при вершине а равен сумме угла с душкой и угла с кружком, а сумма угла с душкой и угла с кружком равна 180°, т.к. они смежные выходит, что  в треугольнике угол равен 180° - такого быть не может, значит предположение неверно, и прямые всё-таки параллельны. ЧТД. Случаи, когда не накрест лежащие, а соответственные углы равны или сумма односторонних углов равна 180° - сводятся к равенству накрест лежащих углов.

Уроки курса