Признак параллельности прямых по Атанасяну

Если при пересечении двух прямых третьей окажется, что какие-нибудь накрест лежащие углы равны или какие-нибудь соответственные углы равны или сумма каких-нибудь односторонних углов равна 180°, то такие прямые параллельны. Доказательство. вот наши прямые, вот секущая и вот равные накрест лежащие углы - они помечены душкой. Отметим середину секущей - точку С. Середина - значит половинки равны - половинки отмечены кружком. Из этой середины С опустим перпендикуляр на верхнюю прямую в точку D. Получился отрезок AD. Теперь от точки B отложим отрезок BE, равный отрезку AD.  И точку E соединим с точкой C. У нас получилось два треугольника CBE и CAD. Эти два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними. И в этих равных треугольниках против равных сторон AC и BC лежат равные углы ADC и BEC. Следовательно, угол BEC тоже равен 90°. Кроме того в этих же равных треугольниках CBE и CAD против равных сторон BE и AD лежат равные углы BCE и ACD. У нас получилось, что градусные меры углов BCE и ACD равны. А кроме того в этих же самых двух углах две стороны CA и CB - дополнительные полупрямые. Следовательно эти два угла являются вертикальными, и другие их стороны также являются дополнительными полупрямыми, и точки D, С и E лежат на одной прямой. У нас получилось, что прямые a и b являются двумя перпендикулярами к одной и той же прямой DCE. А это значит, что как два перпендикуляра к одной прямой, прямые a и b - параллельны. ЧТД. Случаи, когда не накрест лежащие, а соответственные углы равны или сумма односторонних углов равна 180° - сводятся к равенству накрест лежащих углов.

Уроки курса