Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике медиана проведённая от вершины к основанию является также биссектрисой и высотой. Доказательство. Пусть ABC - это наш равнобедренный треугольник с равными сторонами AB и BC и равными углами при основании - A и C. BM - это его медиана, то есть отрезки AM и CM - также равны. Рассмотрим треугольники ABM и CBM. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. И в равных треугольниках против равных сторон AM и CM лежат равные углы ABM и CBM. Следовательно BM - биссектриса. И кроме того в этих же равных треугольниках против равных сторон AB и BC лежат равные углы BMA и BMC. А эти углы - смежные, значит их сумма равна 180°. И значит каждый из них равен 180°/2, то есть 90°. Следовательно, BM перпендикулярна AC и является высотой. ЧТД.

Уроки курса